姐妹房间百度云链接:一道数学题

来源:百度文库 编辑:高考问答 时间:2024/03/29 18:27:00
AD,BE,CF为三角形ABC的三条中线,角B大于角C,求证,BE小于CF.

用正余弦定理
1、余弦定理:
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cosB 1式
AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BC*cosC 2式
在三角形BCF BCE中有
CF^2=BF^2+BC^2-2BF*BC*cosB 3式
BE^2=EC^2+BC^2-2EC*BC*cosC 4式
又有CF,BE为中线,CE=1/2*AC BF=1/2*AB
3,4变成
CF^2=¼*AB^2+BC^2-AB*BC*cosB 5式
BE^2=¼*AC^2+BC^2-AC*BC*cosC 6式
1,2两式相减,有:1-2
AC*BC*cosC-AB*BC*cosB=AC^2-AB^2 7式
5,6两式相减,有:5-6
CF^2-BE^2=¼*(AB^2-AC^2)+AC*BC*cosC-AB*BC*cosB 8式
将7式代入8式,有
CF^2-BE^2=¼*(AB^2-AC^2)+AC^2-AB^2=3/4*(AC^2-AB^2) 9式
又根据正弦定理:角B>角C
有AC>AB
所以9式,右边为正,CF^2-BE^2>0
所以CF>BE

楼下的,
考虑ΔADB与ΔADC 其中AD为公共边,BD=DC
∴∠BDA<∠CDA
考虑ΔGDB与ΔGDC 其中GD为公共边,BD=DC(G为重心)
∴BG<GC
这两个推理过程,不对,在不同的三角形中,不一定成立!!!!
本题可能只是貌似正确,不对呀
回答者:Baige123 - 举人 四级 ( 1025 )

不用余弦定理也可解答:
∵∠B>∠C
∴AB<AC
考虑ΔADB与ΔADC 其中AD为公共边,BD=DC
∴∠BDA<∠CDA
考虑ΔGDB与ΔGDC 其中GD为公共边,BD=DC(G为重心)
∴BG<GC
而BG=2/3BE GC=2/3CF
∴BE<FC

使用正余弦定理
1、余弦定理:
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cosB 1式
AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BC*cosC 2式
在三角形BCF BCE中有
CF^2=BF^2+BC^2-2BF*BC*cosB 3式
BE^2=EC^2+BC^2-2EC*BC*cosC 4式
又有CF,BE为中线,CE=1/2*AC BF=1/2*AB
3,4变成
CF^2=1/4*AB^2+BC^2-AB*BC*cosB 5式
BE^2=1/4*AC^2+BC^2-AC*BC*cosC 6式
1,2两式相减,有:1-2
AC*BC*cosC-AB*BC*cosB=AC^2-AB^2 7式
5,6两式相减,有:5-6
CF^2-BE^2=1/4*(AB^2-AC^2)+AC*BC*cosC-AB*BC*cosB 8式
将7式代入8式,有
CF^2-BE^2=1/4*(AB^2-AC^2)+AC^2-AB^2=3/4*(AC^2-AB^2) 9式
又根据正弦定理:角B>角C
有AC>AB
所以9式,右边为正,CF^2-BE^2>0
所以CF>BE

楼下的,
考虑ΔADB与ΔADC 其中AD为公共边,BD=DC
∴∠BDA<∠CDA
考虑ΔGDB与ΔGDC 其中GD为公共边,BD=DC(G为重心)
∴BG<GC
这两个推理过程,不对,在不同的三角形中,不一定成立!!!!
本题可能只是貌似正确,不对呀

不用余弦定理也可解答:
∵∠B>∠C
∴AB<AC
考虑ΔADB与ΔADC 其中AD为公共边,BD=DC
∴∠BDA<∠CDA
考虑ΔGDB与ΔGDC 其中GD为公共边,BD=DC(G为重心)
∴BG<GC
而BG=2/3BE GC=2/3CF
∴BE<FC

答楼上质疑:
若两角两边对应相等,则夹角大的对边大,反之
对边大的夹角也大。
这是初中数学书上的定理(全国人教版,旧版)