高考问答“云无心以出岫:求解数学题目
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/18 17:02:02
已知：0≤a,b,c≤1
求证：c/(a+b+1)+a/(b+c+1)+b/(a+c+1)+(1-a)(1-b)(1-c)≥(7/8)
分数不好打，各位老兄将就着看吧。
不胜感激！！！
求证：c/(a+b+1)+a/(b+c+1)+b/(a+c+1)+(1-a)(1-b)(1-c)≥(7/8)
分数不好打，各位老兄将就着看吧。
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证明：假设1≥a≥b≥c≥0,
则由放缩法
c/(a+b+1)+a/(b+c+1)+b/(a+c+1)≥（a+b+c）/(a+b+1)
=1+(c-1)/(a+b+1)
再次缩放
1+(c-1)/(a+b+1)≥1+（c-1)≥c
又因为(1-a)(1-b)(1-c)=abc+a(b-1)+b(c-1)+ac+1
因为a≥b≥c≥0，所以
abc+a(b-1)+b(c-1)+ac+1=1+abc+ac-a(1-b)-b(1-c)
由于a(1-b)与b(1-c)由均值定理，当且仅当a=(1-b),b=(1-c)时，有最大值
当a=(1-b),b=(1-c)时，即a=c，又因为假设a≥b≥c，所以是a=b=c=1/2
所以当a=b=c=1/2时，c/(a+b+1)+a/(b+c+1)+b/(a+c+1)+(1-a)(1-b)(1-c)=1/4+1/4+1/4+1/8=7/8
当0≤a,b,c≤1且a=b=c=1/2不成立时，
c/(a+b+1)+a/(b+c+1)+b/(a+c+1)+(1-a)(1-b)(1-c)>7/8
故命题成立
原式=1+3ab+3ac+3bc-abc
因为3ab+3ac+3bc大于abc
所以等式成立
看错了
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