王府郡主日常妈妈网:求函数f(x)=(sinX-1)/(cosx-2)的最大值和最小值

好！我就用圆的知识来答吧！
为了不混淆，我用A代替题中的函数自变量

注意到圆心在原点且半径为1的圆的参数方程为
x=cosA
y=sinA
那么
f(A)=(sinA-1)/(cosA-2)
不正是代表点P(cosA,sinA)与Q(2,1)连线的斜率吗？
Q是定点，P在圆上运动时，易见PQ连线的斜率（即f(A)）在PQ与圆相切时（共两个情况）分别取得最大值与最小值，求到两个切线的斜率就是答案
事实上，设PQ的方程为
y-1=k(x-2)（它经过(2,1)，斜率为k）
即kx-y-2k+1=0
注意到因PQ与圆相切，故原点到直线的距离为1
由点到直线距离公式有
|k*0-0-2k+1|/[(k^2+1)^(1/2)]=1
平方化简得二次方程
3k^2-4k=0
故k=0,4/3
于是所求最小值为0，最大值为4/3

求导
f'(x)=[(cosx)(cosx-2)-(sinx-1)(-sinx)]/(cosx-2)^2
=[(cosx)^2+(sinx)^2-2cosx-1]/(cosx-2)^2
=-2cosx/(cosx-2)^2
f'(x)>0,2kπ+π/2<x<2kπ+3π/2
f'(x)<0,2kπ-π/2<x<2kπ+π/2
(k∈Z)
当x=2kπ+3π/2时，f(x)有最大值
当x=2kπ+π/2时，f(x)有最小值
最大值为1，最小值为0

设sinx+cosx=t,则因为sinx^2+cosx^2=1,所以(sinx+cosx)^2-2sinxcosx=1
所以t^2-2sinxcosx=1,所以2sinxcosx=t^2-1
所以y=t^2+t-1,又因为t=sinx+cosx=√2sin(x+45)
所以t∈[-√2,√2],所以当t=-1/2时y取最小值，最小值为5/4
又因为√2比-√2距离对称轴t=-1/2更近,所以当t=√2时取最大值,最大值为√2+1

设sinx+cosx=t,则因为sinx^2+cosx^2=1,所以(sinx+cosx)^2-2sinxcosx=1
所以t^2-2sinxcosx=1,所以2sinxcosx=t^2-1
所以y=t^2+t-1,又因为t=sinx+cosx=√2sin(x+45)
所以t∈[-√2,√2],所以当t=-1/2时y取最小值，最小值为5/4
又因为√2比-√2距离对称轴t=-1/2更近,所以当t=√2时取最大值,最大值为√2+1