高考问答挺胸龟:数学高手来
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/05 08:45:13
从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方形铁盒,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过常数t.
(I)把铁盒的容积V表示为x的函数,并指出其定义域;
(II)x取何值时,容积V有最大值?
注：是否要讨论t
两天内作出来得加分
(I)把铁盒的容积V表示为x的函数,并指出其定义域;
(II)x取何值时,容积V有最大值?
注：是否要讨论t
两天内作出来得加分
（1）v=(2a-2x)^2*x (0<x<a)－－－－－－－－－式1
（2）v'=(2a-2x)^2+2*(2a-2x)*(-1)*x=4a^2-8ax+4x^2-4ax+4x^2=8x^2-12ax+4a^2－－－－－－－－－－－式2
令v'=0 ，即8x^2-12ax+4a^2＝0
解的 x1＝a/2，x2＝a（超出定义域）
只取x1 。即x＝a/2时，v=a^2/2为最大值。此时t＝(a/2)/(2a-a)=1/2.
即当t>=1/2时能够取得最大值。
当t<1/2时，又如何呢？
此时x<a/2,v'>0,所以v是单调递增函数。
t=x/(2a-2x),则x=2ta/(2t+1),所以在x=2ta/(2t+1)处取得最大值。将此值带入 式1中得到最大值。
v=4(x^3-2ax^2=a^2x)
若t>=(4/27)a^3
则0<x<a
若t<(4/27)a^3
则0<x<f<-1>(t)
最大值为x=a/3时取到
（用导数求）