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来源:百度文库 编辑:高考问答 时间:2024/03/29 09:22:01
四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,角AEF是90度,EF交正方形外角的平分线CF于F,求证,AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG.)(要尽可能地详细给出过程!!)

作不同的辅助线,有多种不同的证明方法,譬如还可以作FG垂直于BC延长线于垂足G。
这里按照你所给的“提示”来证明吧!
证明:
取AB的中点G,连接EG
因为 四边形ABCD为正方形,且角AEF为90度
所以 角EAB即角EAG、角FEC都与角AEB互余
所以 角EAG=角FEC(1)
又因为 G、E分别为AB、BC的中点
所以 AG=EC (2)
且GB=EB
所以 等腰直角三角形GBE中,角BGE=45度
所以 角AGE=180度-45度=135度
又因为 CF为正方形外角DCG的平分线
所以 角DCF=45度
所以 角ECF=角DCF+角DCE=45度+90度=135度
即 角ECF=角AGE(3)
结合(1)、(2)、(3),由三角形角边角的全等原则,
所以有 三角形AGE 全等于 三角形ECF
所以 AE=EF
证毕

取AB的中点G,连接EG
1)E 和 G 都是正方形边的中点 因此 AG=EC

2)GBE为等腰直角三角形,∠EGB=45度,所以 ∠AGC = 135度
CF是外角平分线,所以 ∠DCF=45度,∠ECF=135度
因此 ∠AGC = ∠ECF

3) ∠AEF=90度 所以 ∠AEB + ∠FEC = 180 -90 =90 度
ABE是直角三角形,所以 ∠AEB + ∠BAE = 90 度
因此 ∠BAE = ∠GAE = ∠FEC

由以上三个条件,得到 三角形 AGE 与 ECF 全等
因此 AE = EF

过F点作FM垂直于BC,然后三角形ABE全等于三角形EFC.