csgo cy1去哪了:求不定积分：

不定积分

目的要求

1．理解原函数的定义，知道原函数的性质，会求简单函数的原函数。

2．理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，会用定义求简单函数的不定积分。

内容分析

1．不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材是在学生已掌握求导数方法的基础上，研究求原函数或不定积分的。故学好“导数与微分”是学好不定积分的前提，教学时，要与“导数与微分”一章的有关内容进行对照。

2．本节教学重点是原函数和不定积分的概念教学，难点是原函数的求法，突破难点的关键是紧紧扣住原函数的定义，逆用求导公式，实现认知结构的理顺，由于逆运算概念学生并不陌生，因此教学中要充分利用思维定势的积极因素并引入教学。另外，本节切勿提高教学难度，因为随着后续学习的深入，积分方法多，无需直接用定义求不定积分。

3．本节教学要始终抓住一条主线：“求导数与求原函数或不定积分（在不计所加任意常数时）互为逆运算”。强调求不定积分时，不要漏写任意常数C；另外，要向学生说明：求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等。指出这点是有益的，一方面使学生会检查得到的不定积分是否正确，另一方面消除学生由于所得不定积分形式的不同而产生的疑问。

4．根据本节知识的抽象性，教学中应充分安排学生进行观察、联想、类比、讨论等课堂活动，使之参与到概念的发现过程，体会知识的形成过程，本着这一原则，本节课宜采用引导发现法进行教学。

教学过程

1．创设情境，引入新课

（1）引例（见解本章头）。

用多媒体显示引例图象，提出问题，激起学生求知欲望，揭示并板书课题。

（2）介绍微积分产生的时代背景，弘扬科学的学习态度和钻研精神。

2．尝试探索，建立新知

（1）提出问题：已知某个函数的导数，如何求这个函数？

（2）尝试练习：求满足下列条件的函数F（x）

①
②
（3）解决问题：上述练习是完成与求导数相反的逆运算。因此，解决问题的方法仍为求导数。

（4）形成定义：详见课本“原函数”的定义

对于原函数的定义，教师应强调下列三点：

第一，F（x）与f(x)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间。

第二，F（x）是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数

第三，求原函数（在不计所加常数C的情况下）与求导数互为逆运算。

（5）简单应用：

例1 求下列函数的一个原函数

①
②
小结解法：根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F’(x)等于f(x)。

（6）讨论问题：已知函数f(x)的一个原函数F(x)，那么函数f(x)是否还有其他原函数？举例说明。（略）

（7）归纳性质：

一般地，原函数有下面的性质：

设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C，F (x)+C也是f(x)的原函数，并且f(x)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(x)+C的形式。

教师强调：一个函数虽然有无穷多个原函数，但是我们只要求出其中的一个就行，其他的原函数都可以由这个原函数再加上一个常数得到，这样就给出了求已知函数的所有原函数的方法。

3．类比分析，拓广知识

根据原函数的性质，类比引入不定积分的概念

（1）讲解不定积分的有关概念：不定积分、积分号、被积函数、积分变量、被积式、积分常数等（详见课本）

对于不定积分的定义，教师说明如下：

第一，函数f(x)的不定积分 等于函数f(x)的所有原函数F (x)+C，常数C不要漏写，F(x)只能表示一个原函数，这也正是原函数和不定积分的区别；不定积分记号， 由积分记号“ ”和被积式“f(x)dx”构成，书写时不要漏掉dx..

第二，在不定积分 中，积分变量是x；在不定积分 中，积分变量是x，被积分函数 是关于x的指数函数；在 中，积分变量是u，被积函数 是关于u的幂函数。

（2）推导不定积分的性质

性质1：
证明：设函数f(x)的一个原函数为F(x)，即F’(x)= f(x)

由不定积分的定义得
∴
∴
性质2：
证明（略）

上述两个性质表明：求导数与求不定积分（在不计所加的任意常数时）互为逆运算。因此，求不定积分时，常常利用导数与不定积分的这种互逆关系，验证所求的不定积分是否正确。

4．例题评价，反馈训练

例2 如果在区间（a,b）内，恒有f’(x) = g’(x)，则一定有（B）

A．f(x)=g(x)

B．f(x)=g(x)+C

C．
D．f(x)=Cg(x)

例3 求下列不定积分

（1）
（2）

小结解法：

（1）求不定积分时，都要在结果上写上任意常数C。本章凡是没有特别说明时，所加的C均表示任意常数。

（2）求一个函数的不定积分，由于方法不同，它的结果在形式上往往也不同。这种形式上不同的结果，可以用求它们的导数的方法，看其导数是否相同，如果导数相同，就说明结果是正确的。

课堂练习：教科书练习第1、3、4题

例4 已知f(x)是二次函数，且 ，求f(x)的解析式

解：由不定积分的性质得

5．归纳总结，巩固提高

（1）一条主线：求导数与求不定积分（在不计所加任意常数时）互为逆运算。

（2）二组概念：原函数的定义和性质，不定积分的定义和性质。

（3）三个注意：一是注意一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数；二是注意求不定积分时，不要漏写任意常数C；三是注意求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但其结果的导数应相等。

布置作业

1．课本习题4.1第3、4题

2．设函数y= f(x)的图象为a，且在曲线a上任一点M（x，y）处的切线的斜率 ，并且曲线过点P（1，2），求函数y= f(x)的解析式。

（答案： ）

3．已知函数 ，且f(0)= f(2)=0，方程f(x)=x有两个相等实根。

（1）求f(x)的解析式

（2）是否存在实数m、n（m<n），使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]

（答案：（1） ； （2）存在m=-2，n=0）

（许书华）