高考问答明星生病拍戏:高一数学，谢谢
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/30 20:02:42
设三角形ABC的三边分别是a、b、c，求证：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca>1/4(a+b+c)^2
2(a^2+b^2+c^2)
=a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2
>=2ab+2bc+2ca
所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
1/4(a+b+c)^2
=1/4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)
要证ab+bc+ca>1/4(a+b+c)^2
只需证1/2(ab+bc+ca)>1/4(a^2+b^2+c^2)
只需证2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2
只需证ab+ac+ab+bc+ac+bc>a^2+b^2+c^2
ab+ac+ab+bc+ac+bc=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
因为b+c>a,a+c>b,a+b>c(三角形两边之和大于第三边)
所以a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)>a^2+b^2+c^2
所以:ab+bc+ca>1/4(a+b+c)^2