高考问答派派后花园进不去:数学题：
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/02 12:38:01
若a、b、c为三角形三边，x、y、z属于R，x+y+z=0
求证：a^2yz+b^2zx+c^2xy≤0
求证：a^2yz+b^2zx+c^2xy≤0
我用x^表示x的平方
因为z=-x-y,所以在原式中用-x-y替换z
即证明
a^y(-x-y)+b^(-x-y)x+c^xy《0
整理得
证明
-b^x^+（c^-a^-b^）yx-a^y^《0
把他看作一个以x为主元的一元二次方程，开口向下
则判别式为（c^-a^-b^）^y^-4b^a^y^
化简整理,y^((c^-a^-b^+2ab)(c^-a^-b^-2ab)---注意平方差公式形式
得y^(c^-(a-b)^)(c^-(a+b)^)
=(c+b-a)(c+a-b)(c-a-b)(c+a+b)
因为abc为三角形三边，两边之和大于第三边，所以
（c+b-a)(c+a-b)(c-a-b)(c+a+b)中
第1，2，4项大于0，3项小于0，所以乘积小于0
再乘以大于等于0的y^,则成绩小于等于0
所以y^((c^-a^-b^+2ab)(c^-a^-b^-2ab）
小于等于0，当且仅当y=0时等号成立
这是一个二次项系数小于0二元一次方程的判别式，小于等于0恒成立，所以此二元一次方程小于等于0恒成立
-b^x^+（c^-a^-b^）yx-a^y^《0恒成立
所以 a^2yz+b^2zx+c^2xy≤0
恒成立
证毕