高考问答兔八哥全集:已知三角形。
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 23:19:44
已知三角形ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5。
（1)k为何值时，三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形。
（2）k为何值时，三角形ABC是等腰三角形？求出此时三角形ABC的周长。
（1)k为何值时，三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形。
（2）k为何值时，三角形ABC是等腰三角形？求出此时三角形ABC的周长。
x^2 - (2k + 3)x + (k^2 + 3k + 2) = 0
[x -(k + 1 )]*[x - (k + 2)] = 0
所以，可以一般性假定：AB = k + 1、AC = k + 2
如果(k + 1)^ + (k + 2)^2 = 25，解得k = 2,-5，分别对应原方程的根为(3,4)、(-3,-4)显然只有正数一组符合构造三角形条件
(1)k = 2 时，可以组成直角三角形
(2)等腰三角形，(k + 1),(k + 2),5
k = 3 .......边长分别为4，5，5、周长为 14
k = 4 .......边长分别为5，6，5、周长为 16
化简x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0得
[x-(k+1)][x-(k+2)]=0
即x=k+1和x=k+2
(1)根据勾股定理 (k+1)^2+(k+2)^2=5^2
解得k=-5(不合题意,舍去)和2
所以,k=2时,三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形
(2)根据题意,k+1=5或k+2=5
则k=4或3(经检验,都合题意)
即三边长为5,5,6或4,5,5
所以周长为16或14