高考问答ios 获取屏幕中的cell:关于球的表面积公式
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 16:58:43
球的表面积公式，其推导方式在高中课本上是这样的：依照纬线把球分成许多个圆台，所有圆台侧面积之和即球的表面积：4πr2。
我们也可以这样：依照经线和赤道把球面分成许多个小三角形，所有小三角形面积之和即球的表面积。可这样推导出来的结果是:π2r2。
谁能为我解答？
感谢蛙语蝉鸣先生对此问题的关注，然对于您的解说我似乎仍难认同。“两极地区”并没有被夸大，它是一个点，越往赤道处越宽，和三角形一样。当三角形被分得很细时，它则是很细的三角形，和圆面积积分道理一样吧？至于说它是球面空间三角形——我们大可以把它拉平，则其高为1/4周长，即1/2πr。您说呢？
我们也可以这样：依照经线和赤道把球面分成许多个小三角形，所有小三角形面积之和即球的表面积。可这样推导出来的结果是:π2r2。
谁能为我解答？
感谢蛙语蝉鸣先生对此问题的关注，然对于您的解说我似乎仍难认同。“两极地区”并没有被夸大，它是一个点，越往赤道处越宽，和三角形一样。当三角形被分得很细时，它则是很细的三角形，和圆面积积分道理一样吧？至于说它是球面空间三角形——我们大可以把它拉平，则其高为1/4周长，即1/2πr。您说呢？
“经线和赤道把球面分成许多个小三角形”这里有问题，一旦分得很细的时候，三角形萎缩成线，那么面积微元 dS = 2πR*Rdθ，积分区间为(0,π) 则 S = 2(πR)^2，看上去很合理，其实只要注意到“两极地区”被无数次夸大——相当于使用很细的圆环构造球形，两级地区重叠多次，并不是球的面积了....
关键：积分不能有重叠计算。
..................补充.................
你得到的结果是半个球体。如果是使用三角形面积公式得到面积微分元dS，那么就存在一个问题：球面空间三角形面积公式不是平直空间那个二分之一底乘高了。
常见计算方法：
取“纬度线”累积处理，每个“纬度线”面积微元dS = 2πRcosθ*Rdθ，积分区间θ = (-π,+π)。
S = 2πR^2*sinθ|(-π,+π) = 4πR^2