参观复兴之路:马丁·加德纳的四个乌龟行进路径的轨迹方程求解，长度是多少？

此题不同于一般的动力学问题，其速度的大小不变而方向确随时变化。

将乌龟看作是质点，那么基本思路如下：

1.全部质点的运动都具有等价性，即运动过程中质点之间的相对几何关系不变。
2.任何一个质点瞬间运动方向是其轨迹曲线的切线方向。

根据题意，采用极坐标描述比较方便，推导过程之中采用直角坐标系辅助说明。以N个质点所

共圆之圆心为坐标原点 O，任意选择一个质点在 OX 轴上，那么有：

标号为 k 的质点 Pk ，其直角坐标为Pk(xk,yk)，极坐标为Pk(r,θ+k*α)，其中，θ为质点

P0的相角，k为质点编号，α=2π/n。由于任何时候，每个质点相对坐标原点的距离相等，所

以r一样。

假定P0点初始坐标为P0(R,0)..................即初始圆半径为 R

现在研究P0质点的运动，假定任意时刻 P0(x,y)，即有

x = r*cosθ....... dx = cosθ*dr - r*sinθ*dθ
y = r*sinθ....... dy = sinθ*dr + r*cosθ*dθ

P0追踪的点为P1，其坐标为
x1 = r*cos(θ+α)
y1 = r*sin(θ+α)

P0运动轨迹的切线斜率为：

(y1 - y)/(x1 - x) = dy/dx ...........................(1)

(y1 - y)*dx
= r*[sin(θ+α) - sinθ]*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(α/2)*cos(θ+α/2)*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(π/n)*[ cos(θ+π/n)*cosθ*dr - r*cos(θ+π/n)*sinθ*dθ]

(x1 - x)*dy
= r*[cos(θ+α) - cosθ]*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)
= -2r*sin(π/n)*sin(θ+π/n)*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)
= -2r*sin(π/n)*[ sin(θ+π/n)*sinθ*dr + r*sin(θ+π/n)*cosθ*dθ]

展开(1)得到
(y1 - y)*dx - (x1 - x)*dy = 0

考虑到 r 仅仅在追赶的最后阶段才是无穷小量，所以 r*sin(π/n) 可以约去，得到：

cos(π/n)*dr + r*sin(π/n)*dθ = 0

dr/r = -tg(π/n)*dθ .................................(2)

对(2)积分
ln(r) = -tg(π/n)θ + C

注意到初始条件，P0 坐标为(R,0)，得到
r = R*e^[-tg(π/n)θ] .................................(3)

令 K = tg(π/n) ，简化为

r = R*e(-K*θ)

求解曲线长度，采用标准公式：(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 推导得到

ds = [(dr)^2 + (r*dθ)^2]^(1/2)
= [(dr/dθ)^2 + r^2]^(1/2)*dθ
= [K^2 + 1]^(1/2)*r*dθ

对 ds 积分，注意积分区间为(0,∞)

定义积分符号：S[f(x)dx](a,b) 表示f(x)的定积分，积分区间为(a,b)

曲线长度 L = S[ds](0,∞)

L = R*[1 + (1/K)^2]^(1/2)
代入 K = tg(π/n) 得到

L = R/sin(π/n) .....................................(4)

对于那个著名的马丁·加德纳四个乌龟问题，就是 n = 4 的特例，其总路径长度 L = √2*R

即四边形的边长。