张家港app开发ankin:有理数多还是无理数多,为什么?

证明：无理数比有理数多
首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。
设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合
也就是A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ... 分别与自然数相对应1 2 3 ... 1 2 3 ... 则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应a1 b1 a2 b2 a3 b3 ... 1 2 3 4 5 6 ... 所以两个可数集的合集是可数集。
下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。
有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b) 因为a为整数，b为不为
0的整数，所以a、b都是可数的。
设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...} 因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。
设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...} 同上，Cb也是可数集合。
根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。
然后证明，实数集是不可数的。
设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。
假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,... 则H=0.42347635...
假设0和1间的所有实数是可数的。
设它的集合X={x1,x2,x3,...} x1 x2 x3 x4 x5 .... 1 2 3 4 5 ....
设a和x1小数点第一位不同 b和x2的小数点第一位不同 c和x3的小数点第一位不同……
根据已设条件，无理数H小数点后每一位都在1-8之间。 也就是H不可能为0.0000000....=0 或者0.999999999999...=1 所以H也在0和1之间 ，又因为a和x1小数点第一位不同 ，b和x2的小数点第一位不同，c和x3的小数点第一位不同……所以H不可能出现在X集合里，也就是H不在01之间 ，由此出现前后矛盾，01之间的实数应为不可数。所以实数也是不可数的。
最后证明无理数是不可数的。
根据前面的证明过程，实数分为有理数和无理数，已证明实数集不可数而有理数集可数
所以无理数不可数
所以无理数比有理数多。

无理数多，这个问题是数学中泛函分析（研究生课程）中的定理。简单说就是任意两个有理数之间存在着无限多个无理数。不好意思证明过程我忘记了。是和数学中的一个概念全覆盖有关的。大致是说全体实数可以覆盖整个数轴，而全体有理数不能覆盖整个数轴。任取两个相邻的有理数，则它们之间必存在无限多个无理数

无理数多，假设所有的数可显示为小数点后N位，然后随便选一个区间，比如1和2之间，因为所有的数都是N位的，1和2之间有理无理比例和所有数的有理无理一样。
然后，在证明一下在这个区间的N位小数中，符合有理数特征的数多还是符合无理数特征的数多就行了。
实际上，证明这个还要死扣有理数无理数定义，有些地方定义不同

无理数有π，任何一个有理数加上π都是无理数，所以无理数至少比有理数多一个π，当然，有其他好多无理数的，例如根号2根号3等。

有理数的个数多，无理数的个数也多，并且它们都是无穷多。既然无穷多，就没办法从个数上来比较大小！只能另一些测量方法上来比较。比如测度，一个区间上，无理数的测度是这个区间的长度，而有理数的测度是零，所以从直观感觉上来说，有理数的“个数”好像比无理数的少得多