巴赫小步舞曲吉他:一道数学题 1/x+1/y+1/z=5/6 求xyz的正整数解

来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/05 06:12:20
本人不知道有几个答案 说的越多越好
x≠y≠z

不妨设x>=y>=z
所以1/x=<1/y=<1/z
所以1/z>=5/18=1/3.6
z=<3
当z=3时
1/x+1/y=1/2
所以1/y>=1/4
y=4或y=3
此时x=4 x=6

当z=2时
1/x+1/y=1/3
所以1/3>1/y>=1/6
y=6 5 4
x=6 7.5 12
所以
当x>=y>=z时
6 6 2
12 4 2
4 4 3
6 3 3
共四组解
所以,打乱顺序后
有3+6+3+3=15组解

闲着没事在家慢慢解吧

1/x+1/y+1/z=5/6

先将等号左边的式子合并。

(xz+yz+xy)/xyz=5/6

故xyz等于6的倍数。

故xyz的正整数解有无数个。

一般都是很简单的数字,你自己带进去看看

无穷多个

K = 1/x + 1/y + 1/z
= (xy + yz + zx)/(xyz)
≥ 3*(xyz)^(2/3)/(xyz) .........x = y = z = a取等号
= 3/a

K = 5/6

5/6 ≥ 3/a

a ≥ 3.6 .... a ≥ 4

xyz ≥ 64

xyz = 6k
xy + yz + zx = 5k

k ≥ 64/6 = 32/3 = 10.666...

k ≥ 11 的组合存在，假定，有第一个整数解x = x0、y = y0、z = z0

k = 12 ...... 72 = 2*6*6
x0 = 2
y0 = 6
z0 = 6
(2*6 + 6*6 + 6*2)/72 = 60/72 = 5/6

那么，所有：x = n*x0、y = n*y0、z = n*z0 都符合条件，n为任意正整数，具有无穷多个

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