ngff sata3:什么是二项式定理？具体的，谢谢

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

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排列、组合、二项式定理·排列与组台的概念·教案

北京市五中 肖钰

教学目标

1．正确理解排列、组合的意义．

2．掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论方法的理解．

3．发展学生的抽象能力和逻辑思维能力．

教学重点与难点

重点：正确理解两个原理（加法原理、乘法原理）以及排列、组合的概念．

难点：区别排列与组合．

教学过程设计

师：上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习：

（用投影仪出示）

1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．

（1）从中任取1本，有多少种取法？

（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？

2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？

（全体同学参加笔试练习．）

4分钟后，找一同学谈解答和怎样思考的？

生：第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是： 50×40=2000．第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．

师：学习了两个基本原理之后，继续学习排列和组合，什么是排列？什么是组合？这两个问题有什么区别和联系？这是我们讨论的重点．先从实例入手：

1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？

希望同学们设计好方案，踊跃发言．

生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题．能不能用乘法原理来设计方案呢？

生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．

师：根据生乙的分析写出所有种飞机票

生丙：（板演）

师：再看一个实例．

在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？

请同学们谈谈自己想法．

生丁：事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．

首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．

剩下那面旗子，放在最低位置．

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：

3×2×1=6（种）．

师：根据生丁同学的分析，写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）

生戊：（板演）

师：第三个实例，请全体同学都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．

由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．

（教师在教室巡视，过3分钟找一同学板演）

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有

4×3×2=24（个）．

师：请板演同学谈谈怎样想的？

生：第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．

第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．

根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．

师：以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？

生：都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．

师：取出的这些研究对象又做些什么？

生：实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．

师：请大家看书，第×页、第×行． 我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．

上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．第三个问题呢？

生：从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．

师：请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列？什么是不同的排列？

生：从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的排列．

如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个排列，第三个问题中，213与423也是两个排列．

再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列．

师：还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数？

生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．

师：下面我们进一步讨论：

1．在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价与准备多少种不同的飞机票，有什么区别？

2．某班某小组五名同学在暑假互相都通信一次，打电话一次，通信的封数与打电话的次数是否一致？

3．有四个质数2，3，5，7两两分别作加法、减法、乘法、除法，所得到的和、差、积、商是否相同？

生A：我回答第1个问题．前边已经讨论过有要准备6种飞机票，但票价只有三种，北京— 上海与上海—北京，北京—广州与广州—北京，上海—广州与广州—上海票价是一样的，共有3种票价．

生B：我回答第2个问题．举个例子，张玉同学给李刚同学写信，李刚同学给张玉同学写信，这样两封信才算彼此通了一次信．而两人通一次电话，无论是张玉打给李刚的，还是李刚打给张玉的，两个人都同时参与了，彼此通了一次电话．

师：那么通了多少封信？打了多少次电话？

生C：五个人都要给其他四位同学写信，5×4=20封．关于打电话次数，我现在数一数：设五名同学的代号是a，b，c，d，e．则a—b，a—c，a—d，a—e，b—c，b—d，b—e，c—d，c—e，d—e．共十次．

生D：我回答第3个问题．减法与除法所得的差和商个数是同一个数，因为被减数与减数、被除数与除数交换位置所得的差与商是不同的．加法与乘法所得的和与积个数是同一个数，根据加法、乘法交换律，被加数与加数，被乘数与乘数交换位置，和与积不受影响．

师：有多少个差与商？有多少个和与积？

生E：2，3，5，7都可以做被减数和被除数，对于每一个被减数（或被除数）都对应着有3个数作减数（或除数），共有4×3=12个差或商．把交换位置的情况除去，就是和或积的数字，即12÷2=6．

师：以上三个问题六件事，有什么共同点？再按类分，类与类之间有什么区别？区别在哪里？

生：都是从一些元素中，任取某些元素的问题．

可以分两类．一类属于前边学过的排列问题，即取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”，只要交换位置，就是不同的排列．前边三个问题中的飞机票、通信封数、减法与除法运算的结果都属于这一类．另一类是取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的情况，如飞机票价，打电话次数、加法与乘法运算的结果都属于这一类．

师：分析得很好，我们说后一类问题是从n个元素中任取m（m≤n）个元素，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少种不同的组．如以上三个问题中飞机票价题是3组，打电话次数题是10组，和与积的个数题都是6组．

请同学们看课本，第×页第×行开始到第×页第×行结束．

（用 5分钟时间学生读课本，教师巡视，回答学生提出的问题）

师：组合这一节讲的主要内容是什么？

生：组合定义；什么是相同的组合，什么是不同的组合；排列与组合的区别；怎样写出某个组合问题的所有组合．

师：现在请同学们回答这四个问题．每位同学只说一个问题．

生F：组合定义是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

生G：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

生H：排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合．

生I：我举个例子．前边生C同学提到的a，b，c，d，e这五个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．

先把a从左到右依次与b，c，d，e组合，写出ab，ac，ad，ae．再把b依次与c，d，e组合，写出bc，bd，be．再把c依次与d，e组合，写出cd，ce．最后d与e组合，写出de．前面生C同学已经写得很好．

师：一定要认真体会排列与组合的区别在于与顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区别清楚才能寻找正确解题途径．

和排列一样，还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念．一个组合不是一个数，而是具体的一件事，刚才生I同学回答的每一种如ab，又如ac，…都叫一个组合，共10种，而10就是组合数．

怎样写出所有的排列和所有的组合是本节的技能方面要求，现在请同学们写出由1，2，3，4中取出3个数所有组合．

（教师请生M到黑板板演）

板演：

123，124，134，234．

师：最后希望大家思考，下面的问题是排列问题，还是组合问题？怎样解？

1．今欲从 1，2，3，8，9，10，12诸数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种选法？

2．有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？

（两道题用投影仪示出）

同学们独立思考几分钟，然后全班进行讨论，请思考成熟的同学发言．

生N：我谈第1题．要求出用两个数码所组成的其和为偶数的数的个数，这时按两奇数的和为偶数与两偶数的和为偶数这一标准，进行分类．选出的两数不考虑顺序，因为交换位置其和不变，是组合问题．解法是：

在1，3，9中任选两段：1，3；1，9；3，9有3个组合．

在2，8，10，12中任选两数：2，8；2，10；2，12；8，10；8，12；10，12．有6个组合．

根据加法原理，3+6=9．

所以共有9种选法．

生P：我谈第2题．这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的排列问题．解法是：

第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．

第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．

第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．

第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，我用下面图表表示：

所以，共有9种放法．

师：参加讨论的同学对于什么是排列，什么是组合？一个排列与排列种数，一个组合与组合种数区别是什么？怎样排列，怎样组合都比较清楚了．由于排列组合问题遇到的情况不是唯一的，经常使用分类讨论的方法．

作业

课本：P232练习1，7；P243练习1，2，3，4，6．

补充作业

1．空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？（5个）

2．用0，2，3，5可以组成多少个数字不重复且被5整除的三位数？（10个）

3．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（9种）

课堂教学设计说明

1．温故才能知新，为了培养学生良好的学习习惯，学习新课前进行了复习练习．

2．为了更深刻地理解排列组合概念，设计教案时采取了两项有效措施．

（1）先给出排列、组合的感性认识，再抽象出排列、组合定义，利于学生抽象能力的培养，并能激发学生的学习兴趣，积极参加学习过程中来．

（2）改变了教材的安排，把排列与组合的概念放在同一节课，既节约了课时又通过对比，更深刻理解排列与组合概念本质，掌握它们的共同点与不同点．

3．教案设计中注意了学生主体参与，通过学生实践，掌握概念的形成过程和应用，从而培养能力，并注意训练学生的自学能力．

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