秋天是诗:2002年北京市数学竞赛寻解

来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/10 08:23:43
已知abc≠0，证明：四个数
(a+b+c)的3次方/abc
(b-c-a)的3次方/abc
(c-a-b)的3次方/abc
(a-b-c)的3次方/abc
中，至少有一个不小于
6

反证法；假设所有都小于6 设
A=(a+b+c)的3次方/abc
B=(b-c-a)的3次方/abc
C=(c-a-b)的3次方/abc
D=(a-b-c)的3次方/abc

则A+B+C+D<24
而(A+B)+(C+D)
=2b[(a+b+c)^2+(b-c-a)^2-(a+b+c)(b-c-a)-(c-a-b)^2-(a-b-c)^2+(c-a-b)(a-c-b)]/abc
=24
矛盾
所以至少有一个不小于

反证法；假设所有都小于6 设
A=(a+b+c)的3次方/abc
B=(b-c-a)的3次方/abc
C=(c-a-b)的3次方/abc
D=(a-b-c)的3次方/abc

则A+B+C+D<24
而(A+B)+(C+D)
=2b[(a+b+c)^2+(b-c-a)^2-(a+b+c)(b-c-a)-(c-a-b)^2-(a-b-c)^2+(c-a-b)(a-c-b)]/abc
=24
矛盾
所以至少有一个不小于

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