侠客风云传丁天王线:请问什么叫做3阶幻方呀？哪位高人可以回答我呢？

幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。
所谓纵横图，它是由1到n 2,这n 2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上花于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”，了是最早的幻方伏羲氏赁借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，咯水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的衅中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...
后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：
Nn=1/2n(n 2+1)
其中n为幻方的阶数，所求的数为Nn.
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。

妙趣横生的3阶幻方

幻方著作，大多是从我国公元前23世纪的“洛书”讲起，如下图所示，这洛书记载的九宫图确实是不朽之著，永恒之作。用最小的9个连续自然数构造的九宫图，不仅阶数最低，数字最少，而且结构严谨，典型独特，内容丰富。研究素数幻方，自然也应从最基础、最古老的3阶幻方做起。

设a1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3 ; c1 , c2 ,c3为素数组成且具有相同公差d(d € N)的3个等差数列，若行距h = ci –bi =bi –ai，则这9个素数可编制与洛书同型的3阶幻方。如图1－1所示：

4 9 2 b1 c3 a2

3 5 7 a3 b2 c1

8 1 6 c2 a1 b3

洛 书 图 1－1

无论怎样翻转或镜射，3阶幻方仅此一型，且幻和S＝3b2 。洛书虽然是最古老的唯一图形，但在素数领域里，可演释出丰富多彩的变式。

下面是用较小素数组成的4组等差数列：

d＝12 d＝12 d＝30 d＝90

h＝42 h＝30 h＝36 h＝36

5 17 19 29 41 53 7 37 67 11 101 191

47 59 71 59 71 83 43 73 10 47 137 227

89 101 113 89 101 113 79 109 139 83 173 263

按图1－1模式将上列各数填入各自3阶方阵的对应位置，就构成幻和分别为

177,213,219,411的3阶幻方。

47

113

17

59

113

41

43

139

37

47

263

101

29

59

89

53

71

89

67

73

79

191

137

83

101

5

71

101

29

83

109

7

103

173

11

227

S3＝177 S3＝213 S3＝219 S3＝411

图 1－2

编制同尾素数幻方比编制同阶的异尾幻方要困难得多。首先，要在素数中选取个位数相同的素数，按d＝10n 的公差组成等差数列，然后，选择具有相同行距h值的3个等差数列，再编制成同尾素数幻方。

图1－3是幻和分别为843,1929,921,1077的3阶同尾素数幻方。

d＝180 d＝ 30 d＝ 30 d＝ 90

h＝ 30 h＝450 h＝270 h＝210

101

491

251

613

1123

193

277

607

37

269

659

149

431

281

131

223

643

1063

67

307

547

239

359

479

311

71

461

1093

163

673

577

7

337

569

59

449

S3＝843 S3＝1929 S3＝921 S3＝1077

图 1－3

一个3阶幻方的各个数与另一个3阶幻方对应位置上的各个数均存在同一差值k(k €2N) 时，称这两个3阶幻方为姐妹幻方或幻方对。设一个3阶幻方的元素为素数p，另一个3阶幻方的元素为p+k。图1－4左是d＝2310，h＝750的S＝ 10617的3阶同尾幻方，若各数加上k＝8，则成S＝10641的3阶同尾幻方，如图1－4右所示。即为一对p与p+8的3阶幻方。

1229

6599

2789

1237

6607

2797

5099

3539

1979

5107

3547

1987

4289

479

5849

4297

487

5857

S3＝10617 S3＝10641

图1－4

这类幻方对大量存在。图1－5是和为471、723、807、849的4例异尾幻方对（p+k图样略，下同）:

d＝120 d＝ 30 d＝ 42 d＝ 90

h ＝ 6 h＝168 h＝120 h＝174

37

283

151

211

439

73

227

431

149

193

547

109

271

157

43

103

241

379

191

269

347

199

283

367

163

31

277

409

43

271

389

107

311

457

19

373

P+1330 p+1828 p+252 p+820

图1－5

图1－6是和为7233、11409、8661、1797的4例同尾幻方对：

d＝2310 d＝2310 d＝2310 d＝120

h ＝ 30 h＝1470 h＝ 30 h＝330

101

4751

2381

1493

7583

2333

577

5227

2857

479

1049

269

4691

2411

131

4643

3803

2963

5167

2887

607

389

599

809

2441

71

4721

5273

23

6113

2917

547

5197

929

149

719

P+476 p+60 p+2766 p+2382

图1－6

一个幻方的各数p1加上k1( k1 €2N )等于另一个幻方对应位置上的各数p2，若第二个幻方的各数p2加上k2( k2 €2N )等于第三个幻方对应位置上的各数p3，我们把这三个幻方叫做幻方三枝莲，或称幻方仨。

图1－7是d＝120,h＝42,k1＝308,k2＝22的幻方三枝莲：

71

353

149

379

661

457

401

683

479

269

191

113

577

499

421

599

521

443

233

29

311

541

337

619

563

359

641

S3＝573 S3＝1497 S3＝1563

图1－7

同尾幻方三枝莲经常出现，图1－8给出和各为9663、7779、8661、3117的一例：

d＝2310 d＝ 90 d＝ 30 d＝210

h＝ 600 h＝2310 h＝2310 h＝630

911

6131

2621

2503

4993

283

2857

5227

577

829

1879

409

4931

3221

1511

373

2593

4813

607

2887

5167

619

1039

1459

3821

311

5531

4903

193

2683

5197

547

2917

1669

199

1249

P+1802，5508 P+3060，390 P+10710，1200 P+3300，7360

图1－8

若干个具有相同公差d和相同行距h的3个等差数列所编制的3阶幻方，称为3阶幻方串。

857

5987

2657

283

4993

2503

101

4751

2381

1801

8191

2341

4967

3167

1367

4813

2593

373

4691

2411

131

4651

4111

3571

3677

347

5477

2683

193

4903

2441

71

4721

5881

31

6421

S3＝9501 S3＝7779 S3＝7233 S3＝12333

图 1－9 图1－10 图1－11 图1－12

图1－ 9是d＝2310，h＝510，k＝686、198、4376的4个一联的幻方串的第一个幻方；

图1－10是d＝2310，h＝90，k＝174、22、2864、390的5个一联的幻方串的第一个幻方；

图1－11是d＝2310，h＝30，k＝476、946、1820、7944、1200的6个一联的幻方串的第一个幻方；

图1 －12是d＝2310，h＝1770的同尾幻方，当k＝100、152、184、554、1866、3766、7938、1400时，依次加入各数后，就得幻和分别为12333、12633、13089、13641、15303、20901、32199、56013、60213的9个一联的幻方串。

还须提及的是：具有相同公差d和相同行距h的3个等差数列所编制的3阶幻方与

具有相同公差h和相同行距d的3个等差数列所编制的3阶幻方是互以垂直中心轴翻转180度而得，应视为同一幻方，如图1－13：

d ＝ 6 d ＝ 120

h ＝ 120 h ＝ 6

151 283 37 37 283 151

43 157 271 271 157 43

277 31 163 163 31 277