与春节有关的故事:如果a平方+b平方能被质数4m+3整除,证明a能被4m+3整除。（都是整数）

我做出来了~
这样吧，我先给你补充一点知识
（显然有些繁，但其中有些证明可以略去不看，只要将其当定理就行，不太难，高中竞赛有时候用到它们非常简捷）
希望您能耐心看下去
谢谢！

（我用=代表同余吧）
考虑同余方程：x^2=a(mod p)
（p为质数）
如果方程有不被p整除的解
则称a为模p的二次剩余，
如果方程没有解
则称a为模p的二次非剩余
如果方程只有被p整除的解，显然p|a

下面我们证明
定理1：若p为质数，则模p的两个二次剩余的积是二次剩余，模p的一个二次剩余和一个二次非剩余之积为二次非剩余，模p的两个二次非剩余的积为二次剩余

引理（也可以当定理用）：
设p为奇质数，则模p的任一完全剩余系中恰有(p-1)/2个二次剩余，以及(p-1)/2个二次非剩余，且模p的二次剩余都在数
1^2,2^2,...,r^2……（1）
所在的模p的同余类中
这里r=(p-1)/2

引理的证明：（如果不太懂，可以不看）
我们先注意，（1）中的数彼此不同余，这是因为，若（1）有a^2,b^2模p同余，即a^2=b^2(mod p)
即
(a+b)(a-b)^2=0(mod p)……（2）
因为1<=a,b<=r，故1<a+b<p，因此p与a+b互质，
（2）化为a-b=0(mod p)，故（1）中的数彼此不同余
而显然（1）中的数均为模p的二次剩余，故模p的二次剩余至少有r种
另一方面，模p的二次剩余当然必须同余于1^2,2^2,...,(p-1)^2，而
1^2=(p-1)^2(mod p)
2^2=(p-2)^2(mod p)
...
(r-1)^2=(r+2)^2(mod p)
r^2=(r+1)^2(mod p)
故
1^2,2^2,...,(p-1)^2……（3）
被p除的余数事实上只有r种（每种余数对应两个（3）中的数），故模p的二次剩余至多有r种
综上，模p的二次剩余恰有r种，它们在（1）中的数所在的r个同余类中

证明（如果看不大懂也没所谓，可以直接作为定理使用）：
若s,t为模p的二次剩余，依定义，存在x,y使x^2=s(mod p),y^2=t(mod p)，则st=(xy)^2(mod p)，由定义知st也是模p的二次剩余；
若s,t分别为模p的二次剩余与二次非剩余，则有x使x^2=s(mod p)；由定义，p不整除s，故p不整除x，故有整数x'使xx'=1(mod p)（这个要解释吗？如果要解释我再补充），如果st为模p的二次剩余，即有y使y^2=st(mod p)，推得(x'y)^2=(x'^2)rs=(xx')^2*t=t(mod p)
这与t为模p的二次非剩余相矛盾，故st为模p的二次非剩余
若s为模p的二次非剩余，因p不整除s，故若s1,s2,...,s(p-1)为模p的缩剩余系，则ss1,ss2,...,ss(p-1)也是模p的缩剩余系；不妨设s1,s2,...,sr为模p的二次剩余，上面已证明，ss1,ss2,...,ssr已是模p的二次非剩余，故ss(r+1),ss(r+2),...,ss(p-1)为模p的二次剩余，其中s(r+1),s(r+2),...,s(p-1)均为模p的二次非剩余，这样就证明了，两个二次非剩余之积为二次剩余

关键在下面！
引入勒让德符号(a/p)
=1（若a为模p的二次剩余）
=-1（若a为模p的二次非剩余）
=0（若p整除a）
那么由上面的结论立即得
(a/p)(b/p)=(ab/p)（其中p必须为质数！）
非常简洁~
并且，记住一个欧拉判别法则（可以直接用）：
(a/p)=a^r(mod p)(r=(p-1)/2)

那么回到原来的问题吧！
若(4m+3)|(a^2+b^2)
记质数p=4m+3
即a^2=-b^2(mod p)
如果a不被p整除，
显然b也不被p整除，
由定义知-b^2为模p的二次剩余
即(-b^2/p)=1……（3）
而(-b^2/p)=(-1/p)(b/p)(b/p)……（4）
其中(b/p)显然不为0，只能是-1或1
故(b/p)(b/p)=1……（5）
于是由（3）（4）（5）得
(-1/p)=1
由欧拉判别法则有
(-1)^r=1(mod p)……（6）
其中r=(p-1)/2=(2m+1)
那么(-1)^r=(-1)^(2m+1)=-1(mod p)……（7）
（6）（7）联合得
1=-1(mod p)
这不可能！
得证！

如果：a2+b2=n(4m+3)

汗死...追加分最多只有50啊
我看到这种题目脑袋就休克了...

的确3^2+6^2 = 45,15|45,但是15无法整除3、6。有这个反例就足够了，说明要证明的那个命题本身就是假命题。这不就解决了？

4m+3为质数=n
n=3,7,11...
a*2+b^2=c(4m+3)
又由a,b的等价性,可知,原求证等价于a,b都能被4m+3整除
接下来用反证法就能证明了