12星座的初吻在几岁:什麽是悖论？

悖论一览
1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？
如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。
2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”
如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是真的。”同上，这又是难以自圆其说！
说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。”
又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。
4． 跟无限相关的悖论：
{1，2，3，4，5，…}是自然数集：
{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？
5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？
6． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”
你能说出为什么这场考试无法进行吗？
7． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！”
这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？
8． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？

罗素悖论（理发师悖论）让人们发现了数学这座辉煌大厦的基础部分存在的一条巨大的裂缝。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。
9． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；
如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；
如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；
……
如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；
……

10． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？因此，1000000粒谷子不是堆。

悖论是指一种导致矛盾的命题
说谎者悖论

M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。

甲：这句话是错的。

M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。

学生们是否能够解释，为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。

这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。”

再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这一段）除外。

也许学生们还可以作出其他变化。

柏拉图—苏格拉底悖论

M：让我想一想。一个克里特人说的是（全部）克里特人。一句话说的是这句话本身。一个徽章表达的是关于（全部）徽章的论断。所有这些句子看来都是谈论关于句子本身的事。是不是自关联引起了麻烦？

M：不是。就连古希腊人也已知道即便避免了自关联也不足以消除矛盾。这里有一段对话可以证明这一点：

柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。

苏格拉底：柏拉图说了真话！

M：逻辑学家简化了柏拉图—苏格拉底悖论。不管你让哪一句话是真的，另一句总与之矛盾。两句话谈的都不是它本身，但放到一起，仍会出现说谎者悖论。

说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，它之所以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关联所能解决的。

假若句子A是真的，那么句子B必然是真的。但是，如果句子B是真的，那句子A就必须是假的。好吧，让我们认为句子A是假的，那就意味着句子B是假的。这样，要是句子B是假的，句子A就须是真的，结果我们又从头开始。这个过程就会这样一面重复下去，就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌进一样。两个句子都没有谈到它自身，但放到一起，它们就不断地改变着它们的真实性，结果我们就无法说出任何一个句子是真还是假。

学生们一定愿意变个花样，把这个悖论写在一张卡片上出示给他的朋友。这是英国数学家乔戴因想出的。

在一张白卡片的一面写：

这张卡片背面的句子是真的。

该卡片的背面写的是：

这张卡片背面的句子是假的。

唐·吉诃德悖论

M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。

问，你来这里做什么？

M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。

M：一天，有个旅游者回答——

旅游者：我来这里是要被绞死。

M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——

国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。

这段绞人的悖论出在《唐·吉诃德》第二卷的第51章。吉诃德的仆人桑乔·潘萨成了一个小岛的统治者，在那里他起誓在这个国家要奉行这条奇怪的关于旅游者的法律。当那个旅游者被带到他面前时，他用慈悲和常识做出了对这个人的裁决。

这条悖论实质上和鳄鱼悖论是同样的。旅游者的回答使小岛的君王无法执行这条法律而不自相矛盾。

纽科姆悖论

M：一天，一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。

M：欧米加搞出一个设备来研究人的大脑。他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个。

M：欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的，总是装着1千美元。箱子B不透明，它要么装着1百万美元，要么空着。

M：欧米加告诉每一个受试者。

欧米加：你有两种选择，一种是你拿走两个箱子，可以获得其中的东西。可是，当我预计你这样做时，我就让箱子B空着。你就只能得到1千美元。

欧米加：另一种选择是只拿一个箱子B。如果我预计你这样做时，我就放进箱子B中1百万美元。你能得到全部款子。

M：这个男人决定只拿箱子B。他的理由是——

男：我已看见欧米加尝试了几百次，每次他都预计对了。凡是拿两个箱子的人，只能得到l千美元。所以我只拿箱子B，就可变成一个百万富翁。

M：这个女孩决定要拿两个箱子，她的理由是——

女：欧米加已经做完了他的预言，并已离开。箱子不会再变了。如果是空的，它还是空的。如果它是有钱的，它还是有钱。所以我要拿两个箱子，就可以得到里面所有的钱。

M：你认为谁的决定最好？两种看法不可能都对。哪一种错了？它为何错了？这是一个新的悖论，而专家们还不知道如何解决它。

这个悖论是哲学家经常争论的很多预言悖论中最新的，也是最棘手的。它是物理学家威廉·纽科姆发明的，称为纽科姆悖论。哈佛大学的哲学家罗伯特·诺吉克首先发表并分析了这个悖论。他分析的依据主要是数学家称之为“博弈论”或“对策论”的法则。

男孩决定只拿B箱是很容易理解的。为了使女孩的论据明显起来，要记住欧米加已经走了。箱子里也许有钱，也许空着，这是不会再改变的。如果有钱，它仍然有钱；如果空着，它仍然空着。让我们思考一下这两种情况。

如果B中有钱，女孩只拿箱子B，她得到1百万美元。如果她两个箱子都要，就会得到1百万加1千元。

如果B箱空着，她只拿B箱，就什么也得不到。但如果她拿两个箱子，她就至少得到1千美元。

因此，每一种情况下，女孩拿两个箱子都多得1千元。

这条悖论，是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出，愿意拿两个箱子的是自由意志论信徒，愿意拿B箱者是决定论（宿命论）信徒。而另一些人则争辩道：不管未来是完全决定的，还是不是完全决定的，这个悖论所要求的条件却是矛盾的。

对这些争论观点的讨论可参见马丁·加德勒在1973年《科学美国人》7月号的数学游戏专栏，以及诺吉克教授发表在同一刊物1974年3月号同一专栏的文章。由于这一悖论还未解决，故它是学生讨论的极好课题。你将发现课堂里对这个悖论的反应是活跃的，十分有益的。

悖论就是互相矛盾或相反的学说或言论。