赣州南站是什么车站:请教几个关于圆的定理

圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

.弦切角定理

¬弦切角的定义：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如：

问：1. 三个图中各有几个弦切角？它们所夹的弧各是什么？

2. 所夹的弧是半圆的弦切角为_________角；

所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角；

当弦切角为钝角时，其所夹的弧是_________弧。

­形成概念：

问：弦切角和它所夹的弧与弧所对的圆周角之间有什么关系？

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.

已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证：.

证明：分三种情况：

（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴.

∵为半圆,

∴,

∴.

（2） 圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,

那么

.

（3） 圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么

.

∴.

由弦切角定理可以得到：

推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

练习．如图，⊙O的割线PAB与切线TP相交于点P，点C是切点，连接AC，BC，则图中有哪几对相等的角？

解：图中相等的角：∠PCA=∠B；

∠TCB=∠CAB ∠BCP=∠CAP

2.应用举例

例1：如图，在中，,,，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，求长.

解：连结OA，OB.

∵在中, ∠C=Rt∠

∴

∵ （弦切角定理）

∴

又∵AO=BO

∴为等边三角形

∴AO=AB==

∴

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

求证：EF‖BC.

证明：连DF.

AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF‖BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD.

例4 如图，已知：C点在⊙O直径BE延长线上，CA切⊙O于A点，ÐC的平分线交AE于F点，交AB于D点.

(1).求ÐADF的度数；

(2).若ÐACB的度数为y度，ÐB的度数为x度，写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3).若AB=AC，求AC:BC.

解：①∵AC为⊙O切线

∴∠B=∠EAC

∵CD平分∠ACB

∴∠ACD=∠DCB

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD

即∠ADF=∠AFD

∵BE为⊙O直径

∴∠DAE=Rt∠

∴∠ADF=

=45

②∵∠B=∠EAC

∴∠B+∠BAC+∠ACB=180

∴

∵0<∠B<∠ADC

∴0<x<45

∴y与x的函数关系式是，

x的取值范围是0<x<45；

③∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB

∴ΔACE∽ΔABC

∴

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

即

又∵

∴

∴在RtΔABE中

==tg∠ABE

=tg30

=.

3.课堂练习

如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线.求证：

⑴ 如果AB//CD，那么AM=MB；

⑵ 如果AM=BM，那么AB//CD.

证明：⑴CD切⊙O于M点

∴∠DMB=∠A ∠CMA=∠B

∵AB//CD

∴∠CMA=∠A

∴∠A=∠B

∴AM=MB

⑵∵AM=MB

∴∠A=∠B

∵CD切⊙O于M点

∴∠DMB=∠A ∠CMA=∠B

∴∠CMA=∠A

∴AB//CD

4.小结：

1．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.

2．弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

一定是书上印错了

圆周角，圆心角？