高考问答银行业协会性质:数学问题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/11 00:57:08
若a和b和c为两两不等的有理数，求证(1/(a-b)的平方加1/(b-c)的平方加1/(c-a)的平方)的算术平方根是有理数.
我用a^b表示a的b次方
逆用三元平方和公式
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2
我们注意到
1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2
=1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2
+[2(a-b)+2(b-c)+2(c-a)]/(a-b)(b-c)(c-a)
=1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2
+2*[1/(a-b)]*[1/(b-c)]
+2*[1/(b-c)]*[1/(c-a)]
+2*[1/(c-a)]*[1/(a-b)]
=[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)]^2
而1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)为有理数，得证