高考问答微软ie3.0蓝影增强版:什么是欧拉线性质
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 11:48:39
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
如图，设D，E，F为△ABC三边的中点，则△DEF∽△ABC，且相似比K=。
设M为△ABC的重心，因为△DEF的三条中线是△ABC相应中线的一部分，所以M也是△DEF的重心。
又△ABC的外心O恰好是△DEF的垂心。
设H为△ABC的垂心，连MO，HM。
∵ △DEF∽△ABC，DO，AH和DM，AM恰好是△DEF和△ABC的两对对应线段。
∴。
又 ∠ODM=∠HAM，
∴ △ODM∽△HAM，∠OMD=∠HMA。
∵ AMD为一直线，
∴ O，M，H三点共线，且OM∶MH=1∶2。
设P为AH的中点，则PD的中点N即为九点圆的圆心。
由上面的证明，易知。
故PD的中点N也是OH的中点。
由此，三角形的外心O、重心M、九点圆圆心N、垂心H依次位于同一直线上，即在三角形的欧拉线上。