高考问答大学gpa多少算高:初中数学竞赛-多元最值问题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/29 13:43:14
A1,A2,A3......A100,B1,B2,B3.......,B100为互不相等的实数,将它们按如下法则填入100*100的方格表:在位于i行第J列之交处的方格内填入数字Ai+Bj.现知任何一列数的乘积都等于1,证明:任何一行数的乘积都等于-1.
a1+b1 ,a1+b2 ,a1+b3 ,...a1+b100
a2+b1 ,a2+b2 ,a2+b3 ,...a2+b100
.... ,...... ,..... ,..........
a100+b1,a100+b2,a100+b3,...a100+b100
a1+b1 ,a1+b2 ,a1+b3 ,...a1+b100
a2+b1 ,a2+b2 ,a2+b3 ,...a2+b100
.... ,...... ,..... ,..........
a100+b1,a100+b2,a100+b3,...a100+b100
由题知：（a1+bj)(a2+bj)......(a100+bj)-1恒等于0 （j=1,2,.....100)
令f(x)=（a1+x)(a2+x)......(a100+x)-1,则 bj是f(x)=0的根
所以f(x)=(x-b1)(x-b2)......(x-b100)
所以（a1+x)(a2+x)......(a100+x)-1＝(x-b1)(x-b2)......(x-b100) 恒成立
令x= -ai,（i=1，2......100）代入上式
可以看出(a1+x)(a2+x)......(a100+x)总有一个因式等于0
所以（ai+b1)(ai+b2)......(ai+b100)= -1恒成立
得证