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方程思想
在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化,这种解决问题的思想称为方程思想.
1. 要具有正确列出方程的能力
有些数学问题需要利用方程解决,而正确列出方程是关键,因此要善于根据已知条件,寻找等量关系列方程.
2. 要具备用方程思想解题的意识.
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关,但是要利用代数方法——列方程来解决,因此要善于挖掘隐含条件,要具有方程的思想意识,还有一些综合问题,需要通过构造方程来解决.在平时的学习,应该不断积累用方程思想解题的方法.
3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点.
除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外,经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式,根与系数关系,方程,函数,不等式的关系等内容,在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用.
【例题分析】
例1:一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带,又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带,如果以每3盘k元的价格全部出售可得到所投资的20%的收益,求k的值.
分析:可以设商店第一次购进x盘录音带,则第二次购进2x盘录音带.根据题意,列出方程:

答:k的值是19.
小结:上述例题是应用问题,正确列出方程是解题的关键,在学习过程中要不断培养这方面的能力.其中所设的x是辅助元,它在解题过程中是参加变化的量,可以消去,也叫做参变量,并不是最终所求的未知量.从本题可以看出,设辅助元x以后可以方便我们解题.
例2:以AB为直径的圆交BC于D,交AC于F,DE切半圆于D,交AC于E,若AB:BC=5:6,且AF=7,求CE的长.
解:连结AD,FD.
是直径

例3:已知方程两根为a,b,方程两根为c,d,求的值.
解:由根系关系得:

例4:已知方程有两个根的积等于2,解这个方程.
分析:若直接求解此方程较困难,可以利用待定系数法,由根与系数的关系可知,两根之积为2的一元二次方程,如果二次项的系数是1,那么常数项是2.
解:设

小结:本例是一个解方程的问题,但是在求解过程中仍然体现了方程思想,利用根系关系构造方程,利用待定系数法构造方程组,都是方程思想的应用.
【易错题分析】
例1. 已知关于x的方程有两个正整数根,求整数m.
分析:本题关于x的方程有两个正整数根,所以这个方程是一元二次方程,,如果用根系关系来解,即,,.列出关于m的不等式,再由正整数根的条件求出m的值,方法比较繁.一般来说,解字母系数的一元二次方程,都可以分解因式,这样解法比较简便.
解:将方程分解因式:

检验:当m=1时,方程为

当m=2时,方程为

点证:本题有的同学解法比较繁,而且容易错,用分解因式的方法较好.另外求出以后,变形为以后,便于讨论m的值.最后,求出m的值以后要注意检验是否符合题意,以免多解或丢解,还可以检验,等.
例2. 若关于x的方程,有两个不同的正整数根,求正整数k的值.
分析:本题用因式分解的方法较好,但求出k以后,要注意检验,因为题目要求有两个不同的正整数根,所以.
解:关于x的方程有两个不同的正整数根
,将方程的左边分解因式:

点评:本题容易错在k=3没有舍.所以一定要注意检验.
例3. 已知抛物线在x轴上方,关于x的方程
两个不等实数根是,当m是整数时,求的值.
分析:本题是二次函数和方程的综合题,要用限定m的范围,由已知m是整数确定m的值.然后用根系关系求出的值.
解:在x轴上方

但方程有两个不等实根是一元二次方程

点评:本题容易错的地方是求出以后,没有舍去m=-3,所以一定要检验一元二次方程的二次项系数,使其不为零.
以上三个例题,组成一个题组,小结为一元二次方程要注意验二次项系数,验,并且还要检验是否符合题意,这样才能避免出错.
一. 选择题:
1. 已知,其内切圆半径为,则三角形三边的长是( )
A. 8,7,13 B. 8,5,12 C. 6,7,14 D. 8,7,14
2. 已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程的两根,若这样的三角形只有一个时,a的取值范围是( )
A. a<8 B. 0c,(2)2b=a+c,(3)b是正整数,(4),则b的值是_______.
2. 已知a为自然数,二次方程有一正整数根p,那么a=_______,方程的另一根是_____________.
3. 已知m是整数,二次方程有两个正整数根,则m的值是_________.
三. 解答题:
1. 某考生的准考证号码是一个四位数,它的千位数字是1,如果把1移到个位上去,那么所得的新数比原数的5倍少49,求这个考生的准考证号码.
2. 如图,正方形ABCD的中心为O,面积为且,求PB的长.
3. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根,
的两个实根,且求m,n的值.
4. 如图,EB是直径,O是圆心,CB,CD切半圆于B,D,CD交BE延长线于A点,若BC=6,AD=2AE,求半圆的面积.
5. 已知抛物线与x轴有两个交点A,B,且A在x轴正半轴,B在x轴负半轴,设OA长为a,OB长为b.
(1)求m的取值范围.
(2)若a,b满足a:b=3:1,求m的值.
(3)由(2)所得的抛物线与y轴交于C,问在抛物线上是否存在一点P,使 若存在,求P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【疑难解析】
A. 教师自己设计的问题:
1. 解答题的第4小题怎样用方程的思想解决问题
2. 解答题的第5小题的解题思路是什么
B. 对问题的解答:
1. 答:这个题也是方程思想的应用,关键在于理解AD=2AE在条件中的作用.因为有倍半关系,所以AE:AD=1:2,这是方程思想应用最明显的知识特征.再利用勾股定理和成比例线段的知识,就可以转化为方程求解了.
略解:连结CO,DE,BD,设DB交OC于F点.

2. 答由于抛物线与x轴有两个交点A,B,可知方程有两个不等实根,即判别式大于零,由已知A在x轴正半轴,B在x轴负半轴,可进一步确定上面方程有一个正根,一个负根,从而将函数图形问题转化为方程根的判定去解决.
略解:(1)由题意:
即,m可取任意实数.
,B两点在y轴两侧,即方程有一正根,一负根.
即 解得
(2)由题意,得A(a,0),B(—b,0)

解得,,经检验不合题意舍去.

(3)由抛物线,令x=0,得y=3,
由m=0,求出a=3,b=1.

为等腰直角三角形.
若存在点P,使时,与关于AC为轴对称图形,P点坐标(3,3),将x=3代入中,得y=0,说明P(3,3)不在抛物线上,即不存在抛物线上的点P,使.
试题答案
一.
1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. A
二.
1. 5 2. 4 3. m=1或m=2
三.
1. 提示:设原数后三位为x,则原数为1000+x,由题意列方程:
解之x=990,原数为1990
2. 提示:,可设PB=14x, PA=5x,设正方形边长为a,在中,,即,
3. 提示:由根与系数关系,
整理 解得m=3,n=2
4.
5.
(1)m>-3
(2)m=0
(3)不存在

...么想法了