python re 非贪婪匹配:谁能用简明的语言讲述一下“欧几里德几何空间”和“非欧几里德几何空间”的概念和范围

欧几里德几何''有时就指平面上的几何，即平面几何。本文主要描述平面几何。
三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。
高维的情形请参看欧几里德空间。

数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

公理描述
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欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

欧几里德几何的五条公理是：

# 任意两个点可以通过一条直线连接。
# 任意线段能无限延伸成一条直线。
# 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
# 所有直角都全等。
# 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题：
:''通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。''

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。）

从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。

欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
# 与同一事物相等的事物相等。
# 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
# 相等的事物减去相等的事物仍然相等。
# 一个事物与另一事物重合，则它们相等。
# 整体大于局部。

现代方法
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如今，欧几里德几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里德（或非欧几里德）几何中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。

构造

首先，定义“点的集合”为实数对 (x, y) 的集合。给定两个点 P=(x, y) 和 Q=(z, t)，定义距离：
:|PQ|=\sqrt{(x-z)^2+(y-t)^2}.
这就是“欧几里德度量”。所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点 P 和 Q 的直线可以定义成点的集合 A 满足
:|PQ| =|PA|+|AQ| 或 |PQ| =\pm(|PA|-|AQ|)。

经典定理
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塞瓦定理

海伦公式

九点圆

勾股定理

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非欧几里德几何，简称非欧几何。欧氏几何第五公设说：过线外一点引已知直线的平行线，可以引一条，并且只能引一条。人们企图把它降格为定理。人们想用反证法达到目的。如果能够引导出矛盾，就成功了。可是，总是不能达到目的。两千多年的探索后，终于有三位探索者明白了：原来可以建立与欧氏几何不同的新几何。

新几何，非欧几何，只是第五公设不同。

如果以“可以引无数条平行线”为新公设，就引出罗氏几何（或称双曲几何）。

如果以“一条平行线也不能引”为新公设，就引出高斯几何（或称椭圆几何）。

这三种几何学，都是常曲率空间中的几何学，分别对应曲率为0，曲率为负常数，曲率为正常数。

如果去掉第五公设，就得到更加一般化的绝对几何。这种几何不仅可以囊括前面提到的三种几何，而且允许空间的不同位置有不同的几何特性（曲率）。黎曼几何是描述任意维数任意弯曲的绝对几何空间的一种微分解析几何学。