高考问答韦达定律心理阈值:初四数学题，今晚就要答案
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 16:14:16
已知在平面直角坐标系中，过点P（0，2）任作一条 与抛物线y=ax^2（a>0）交于两点的 直线。设交点分别为A,B。若∠AOB＝90°
（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由
（2）确定抛物线y=ax^2（a>0）的解析式
（3）当△AOB的面积为4√2时，求直线AB的解析式
（注：x^2表示x的平方。√2表示根号二）
麻烦把步骤写出来，包括辅助线，不需要特别详细，但要能看懂。
（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由
（2）确定抛物线y=ax^2（a>0）的解析式
（3）当△AOB的面积为4√2时，求直线AB的解析式
（注：x^2表示x的平方。√2表示根号二）
麻烦把步骤写出来，包括辅助线，不需要特别详细，但要能看懂。
1．设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则AB的方程为y=kx+2,联立直线和抛物线的方程消去y得，ax^2-kx-2=0,因为OA垂直OB，所以有x1*x2+y1*y2=0,故有
y1*y2=(kx1+2)*(kx2+2)=k^2x1*x2+2k(x1+x2)+4
由韦达定理可得y1*y2=-2k^2/a+2k^2/a+4=4，故A、B两点纵坐标的乘积是一个确定的值4．
2．有因y1*y2=-x1*x2=2/a=4,故a=1/2,抛物线的解析式为y=1/2*x^2
3.点O到直线AB的距离d=2／根号（1+k^2),而弦AB的长|AB|=根号（1+k^2) *｜x1-x2|=根号（1+k^2) *根号（4k^2+8),而△AOB的面积为4√2＝1/2*2／根号（1+k^2)*根号（1+k^2) *根号（4k^2+8)
解得k=＋√6或－√6，所以直线AB的解析式为
y=＋√6x+2或y=－√6x+2