高考问答我欲封天实力等级排行:等比数列求和推导~
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/11 14:44:07
求和S=1+2x+3x平方+...+nx的n次方~
麻烦帮我截一下~解的月详细越好~谢谢您~~
S = 1 + 2x + 3x^2 + … + nx^n ⑴
就是这个样子的~老师是这么变的~
sx=x+2x^3+...+(n-1)x^n+nx^n+1 ⑵
我不明白后面是怎么变的...
然后⑴-⑵得(1-x)s=1+x+x^2+x^3+..+x^n-nx^n+1(x不得1)
麻烦帮我截一下~解的月详细越好~谢谢您~~
S = 1 + 2x + 3x^2 + … + nx^n ⑴
就是这个样子的~老师是这么变的~
sx=x+2x^3+...+(n-1)x^n+nx^n+1 ⑵
我不明白后面是怎么变的...
然后⑴-⑵得(1-x)s=1+x+x^2+x^3+..+x^n-nx^n+1(x不得1)
照你这样说，那么，老师一定是弄错了。
很多矛盾的地方：
比如：
sx=x+2x^3+...+(n-1)x^n+nx^n+1 ⑵
根本没有2次项，用(1)式去减⑵，
得出的2次项一定是3x^2，不可能是x^2啊
再说，每项都是有规律的
S = a1 + a2 + … + an
an = f(n)·g(n)
f(n)为等差数列，即f(n)=n
g(n)为等比数列，即g(n)=x^(n-1)
题目中的最后一项明显不符合规律
所以最后那里应该是写错了
应该是“nx的（n-1）次方”
过程如下：
因为S = 1 + 2x + 3x^2 + … + nx^(n-1) ……一式
所以xS = x + 2x^2 + 3x^3 + … + nx^n ……二式
一式减去二式 得
( 1-x )S = 1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(n-1) - nx^n
( 1-x )S = ( 1 - x^n )/( 1-x ) - nx^n
所以 S = ( 1 - x^n )/( 1-x )^2 - (nx^n)/( 1-x )
因为S = 1 + 2x + 3x^2 + … + nx^(n-1) ……一式
所以xS = x + 2x^2 + 3x^3 + … + nx^n ……二式
一式减去二式 得
( 1-x )S = 1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(n-1) - nx^n
( 1-x )S = ( 1 - x^n )/( 1-x ) - nx^n
所以 S = ( 1 - x^n )/( 1-x )^2 - (nx^n)/( 1-x )