高考问答我的新衣舞蹈视频:数列问题~~帮忙解一下
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/05 19:35:41
{an}中，a1=1,Sn=n2an
（1） 写出S1S2S3S4
（2） 猜出Sn并证明（使用数学归纳法）
猜Sn是只用n表示
（1） 写出S1S2S3S4
（2） 猜出Sn并证明（使用数学归纳法）
猜Sn是只用n表示
(1)
S1=1.
S2=4/3.
S3=3/2.
S4=8/5.
(2)
先猜测an=2/[n(n+1)].
证明:
<1>
当n=1的时候,显然成立.
<2>
假设命题对n<=k成立,那么:
Sk=2*[1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1))]
=2*(1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/k-1/(k+1))
=2k/(k+1).
所以代入
S(k+1)=(k+1)^2*a(k+1),
并且利用S(k+1)=Sk+a(k+1),
得到:a(k+1)=2/[(k+1)(k+2)].
所以命题在n=k+1的时候成立.
所以:an=2/(n*(n+1))对一切n成立.
所以:
Sn=2*[1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1))]
=2*(1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1))
=2n/(n+1).
Sn=n2an
Sn=n2an