自行车变速齿轮的原理:要求用一台没有砝码的天平称三次找出这个重量不同的球。

其实这道题很有难度，想了很久，熬夜打出来。
关键是那一个球与其他11个球相比，不知轻重，所以我们先把这个球标记为0，其他球为*，下面具体论证如何找出0：

第一步：12分3份，任两份放在天平上，两种可能：
（一）平衡，0在剩下的4个里
（二）不平，0在天平两边的8个里

第二步：
若是（一）把4分2份，仅拿其中一份即2个放上天平左边，在8个*里任拿2个放天平另一边，两种可能：
（1）若平，剩下2个有一个是0，任取其中一个与一个*称，即可找到0
（2）若不平，左边2个有一个是0，推理同上。

若是（二）比较麻烦，最好找支笔画图更容易理解
先给这8个标序号，左边是1234，右边5678。0有可能是12345678中任一个，还有假设左边重（假设任何一边重都对推出的结果没影响），

把678拿下来，把34和两个*（除了标号的8个，有4个是*）移到右边，把5和一个好球移到左边，这样两边都有四个，

原来：左1234，右5678
现在：左125*，右34**

出现两种可能：

（1）平，12345是*，0在678中，任取其中两个放在天平两边称，
A、平衡则剩下的那个是0；
B、不平则是轻的是0，因为678原来都在天平右边，是轻的；1234都是*，重的。

（2）不平，678是*，0在12345中，也两种可能：
A、继续是左边重，移动过位置的345*，0在12中，易推出0
B、变成是右边重了的话，没有移动过的12是*，0在345中，
将34放天平两边，一目了然。
（A）如果平衡，5就是0，
（B）如果不平，重的那个是0（结合移动前后的变化，易推）

第三步都包含在以上分析中，所以称3次绝对可以找到0

好艰难，我在尽最大努力解析明白，希望大家都能看得懂。
若有更简单更快的方法，希望跟帖，共同讨论！

楼上的超厉害啊，我一开始还以为楼主给的题目少了球轻重的条件。

看了好久才完全理解，佩服啊佩服～

关于这里

第二步：
若是（一）把4分2份，仅拿其中一份即2个放上天平左边，在8个*里任拿2个放天平另一边，两种可能：
（1）若平，剩下2个有一个是0，任取其中一个与一个*称，即可找到0
（2）若不平，左边2个有一个是0，推理同上。

“把4分2份，仅拿其中一份即2个放上天平左边，在8个*里任拿2个放天平另一边”
－－－－不必这样，直接拿其中2个称，有2种情况

（1）：不平。则0在这两个里，随便拿下其中一个，换上普通的球称，若平则换下的那个为0，不平则剩下的那个为0
（2）：平。则从剩下的2个中随便拿一个称，若平则剩下最后那个为0，不平则换上的这个为0

在下的语言表达能力不好，不知道大家能否明白，其实和楼上说的差不多，更方便一些罢了