高考问答星战风暴严小酥和安美:求助一道三角函数题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/29 12:37:55
已知AB为半圆的直径 O为圆心 C为半圆上的点,AB=2 角AOC=π/3 P为BC弧上的点，角BOP=2θ
1)将PA+PB+PC用f(θ)表示
2）θ为何值时，f(θ)取得最大值？并求出该最大值。
1)将PA+PB+PC用f(θ)表示
2）θ为何值时，f(θ)取得最大值？并求出该最大值。
1)由题意知：圆的半径r=π/6，角AOC=π/6
由余弦定理：PB^2=r^2+r^2-2r^2*cos2θ=2r^2*(1-cos2θ)=2r^2*2(sinθ)^2
所以 PB=2r*sinθ=π/3*sinθ
因为半圆，所以三角形PAB是直角三角形，即PA^2+PB^2=AB^2=4r^2
所以 PA^2=4r^2-PB^2=4r^2*(1-(sinθ)^2)=4r^2*(cosθ)^2
PA=2r*cosθ=π/3*cosθ
由余弦定理：PC^2=r^2+r^2-2r^2*cos(π-π/6-2θ)=2r^2*2(sin(5π/12-θ))^2
所以 PC=2r*sin(5π/12-θ)=π/3*sin(5π/12-θ)
PA+PB+PC=π/3*(sinθ+cosθ+sin(5π/12-θ))
2)f(θ)=π/3*(sinθ+cosθ+sin(5π/12-θ))
=π/3*(sinθ+cosθ+sin(5π/12)cosθ+cos(5π/12)sinθ)
=π/3*(1+cos(5π/12))*sinθ+π/3*(1+sin(5π/12))*cosθ
以O作为平面直角坐标系的圆点,AB作为正X方向,那么P点的坐标为
(SIN2θ,COS2θ)
A点的坐标为（-1，0）；C点的坐标为（-0.5，0.866）
PA=2COSθ;PB= 2SINθ ;
PC2=(SIA2θ +0.5)*(SIA2θ +0.5)+(COS2θ-0.866)*(COS2θ-0.866)
余下的事情你自己可以做出来了吧！