太空奥德赛黑石:谁能说说数学的中的对策论啊？

说来令人不信，在人们日常生活的游戏中，有时竟会萌发出数学思想的创新。让我们先来看一则中国古代赛马赌胜的故事：
早在战国的时候，中国就流行赛马赌胜的游戏。当时齐国的大将田忌就常常与齐国国君齐威王进行赛马，但每次比赛都是田忌输，齐威王赢。这是什么道理呢？原来田忌上、中、下三等马，齐威王也有上、中丁三等马，但田忌的三等马都分别比齐威王的三等马略差一些。田忌输得很不甘心，又想不出什么好的办法。这时候田忌的谋士孙膑就对田忌说，你再去与齐威王赛一次马，而且把赌注押得多一点，这一次我保证你能赢。田忌素来很信任孙膑，就又去邀齐威王赛马，并且押下了每场比赛一千两黄金的大赌注。比赛开始了，齐威王第一场就派出了它的上等马，田忌刚要派他的上等马去应战，孙膑却不让田忌派上等马，而让他派下等马去应战，结果自然是输了。第二场，齐威王派出中等马，孙膑则让田忌出上等马，结果赢回一场。到了第三场，齐威王只有下等马了。田忌则派出了中等马，结果又赢了一场。三场比赛结束，田忌先输一场，后赢两场，总计还是赢了一场，终于赢到了齐威王的一千两黄金。
上面这则故事虽然只是一个赛马赌胜的游戏，但其中蕴含的思想，却正是现代数学中对策论的萌芽。我们知道，对策论是现代应用数学的一个分支，它是一门关于斗争的学，主要是用数学方法来研究在竞争（包括战争、竞技、比赛等）中是否存在制胜对方的最优策略，并指示决策人，响采取最优行动，因此又称博弈论、游戏论或策略论。开始，对策论的研究仅限于日常生活中的一些游戏；以后在第二次世界大战期间，它又被广泛地应用于军事；直到1944年冯·诺伊曼和摩根斯特恩合著的《对策论和经济行为》一书问世，对策论才真正成为一门独立的学科。然而，人类认识的发展从来就不是间断的和偶发的，对策论基本思想的萌芽其实早在古代的兵法和游戏中就经常出现。其中最古老、最著名的例子，就要数我们前面讲述的这则赛马赌胜的故事了。
用现代对策论的术语来说，田忌与齐威王的那场赛马实际上是一个“二人有限零和对策”。首先，参加这个赛局的有两方，一方是田忌，一方是齐威王，所以称“二人策”；其次，田忌有马三等，齐威王也有马三等，双方各用哪一等马去对付对方的哪一等马，其策略个数是有限的，所以又称“有限对策”；最后，每场比赛赌注千金，输方要拿出一千两黄金，而赢方则得到一千两黄金，双方输赢之和恰等于零，所以又称“零和对策”。对于田忌来说，他虽然也有上、中、下三等马，但每等都比齐威王的差，明显地处于劣势的地位。在这样的情况下，如何找到一种最优的策略，使劣势变为优势，就成了田忌能否取胜的关键。就田忌一方而言，所有可能采取的策略一共有六种。如下表，设田忌的三等马为A、B、C，齐威王的三等马为a、b、c。）
(1)A-a,B-b,C-c(2)A-a,C-b,B-c(3)B-a,A-b,C-c(4)B-a,C-b,A-c
(5)C-a,B-b,A-c(6)C-a,A-b,B-c
很明显，在田忌所有可能采取的六个策略中，有五个都是要输的其中第（1）种输三千两黄金，第（2）（3）（4）（5）种各输一千两黄金只有一个策略，也即是第（6）种策略，才有可能取胜。而孙膑所采取的，正是这个唯一能取胜的策略。由于史书记载的简略，我们已无法得知孙膑关于这个问题的详细思索过程；但我们从他让田忌多下赌注这样有把握的话来看，则可知他对于双方形势的优劣消长，各种策略的利害得失，必然是经过了一番详细的分析和周密的思考的。详细地分析敌我情况，反复地研究各种对策，在所有可能采取的策略中选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得胜利，这正是对策论的基本思想。当然，上面的这则故事只是“二人有限零和对策”的一个最简单的例子。但尽管如此，它仍不失为对策论思想在古代的最早的创造性运用；也惟其如此，才展现出人类数学知识从简单到复杂、从雏形到成熟的不断发展。