爰问是谁家美少年:如何用向量表示三角形的“五心”

用向量表示三角形的五心
如图，ABC中，E是AC上一点，F是AB上一点，且
l
n
ECAElmFBAF,（通分总可以把异分母分数化为同分母分数）.连接BE、CF交于点D，确定点D的位置. 解:设.,bACaAB DFCDDEBD,

由定比分点的向量表达式,得

bamlmamlmbABmlm
ACAFACADbnlnaACnln
ABAEABAD


11))(1())(1(11)
(1111))(1(11)
(1111




nmlmnlnlnmlm
解得11))(1())(1(11
代入得:bn
mln
anmlmAD

设O是平面上任意一点,则有.,,OAOCbOAOBaOAODAD
上式可化为:OCn
mln
OBnmlmOAnmllOD
()
由()式出发,可得三角形五心的向量表达式.
(1).若BE、CF是ABC两边的中线,交点D是三角形的重心.
则1,1
FBAF
lmECAEln )(31
OCOBOAOD

(2)若BE、CF是ABC两内角的平分线，交点D是三角形的内心. 则:a
b
BCACFBAFlmacBCABECAEln
, OCa
cbcOBacbbOAacbaOD 同理若D是顶点B所对的旁心,则有:
OC
c
bac
OBcbabOAcbaaOD：，CDOCbcacOBbcabOAbcaaOD
则有所对的旁心是顶点若.
若将点O与上述五心重合,则有以下简单结论:
(1) 重心O:0OCOBOA (2) 内心O:0OCcOBbOAa (3) 垂心O:
0coscoscosOCC
c
OBBbOAAa (4) 外心O:05) A对的旁心O:0OCcOBbOAa; B对的旁心O:0OCcOBbOAa
C对的旁心O:0
则a
b
BCACFBAFlmacBCABECAEln
, 代入(*)式得:
.OCc
bac
OBcbabOAcbaaOD

(3)若BE、CF是ABC两边上的高，交点D是三角形的垂心

则
A
a
B
b
FB
AF
l
m
A
a
C
c
C
a
A
c
EC
AE
l
n
cos
cos
,
cos
cos
cos
cos







同理
.

OC
C
c
B
b
A
a
C
c
OB
C
c
B
b
A
a
B
b
OA
C
c
B
b
A
a
A
a
OD
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos











(4)
若
BE
、
CF
的交点
D
是

ABC
的外心
,
即三边中垂线的交点
,
则有
:DA=DB=DC.

根据正弦定理有
:

A
C
A
A
C
C
B
D
C
A
A
D
B
C
C
B
E
C
BE
EBA
A
BE
EC
AE
l
n
2
sin
2
sin
cos
sin
cos
sin
)
(
2
1
sin
sin
)
(
2
1
sin
sin
sin
sin
sin
sin




















同理
A
B
FB
AF
l
m
2
sin
2
sin



OC
C
B
A
C
OB
C
B
A
B
OA
C
B
A
A
OD
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin










(5)
若
BE
、
CF
是

ABC
外角平分线
,D
是三角形的旁心

三角形的五心：
重心：三条中线的交点。垂心：三条高的交点。内心：三条角平分线的交点。外心：三条边中垂线的交点。
还有“旁心”，是旁切圆的圆心，一个内角平分线与两个外角平分线的交点，有三个旁心