dcs world 任务编辑器:有关三角形重心的性质

1、重心分中线成两线段，它们的长度比为2:1。

2、三条中线将三角形分成六个小块，六个小块面积相等，也就是说重心和三顶点的连线将三角形的面积三等分。

3、三角形中，重心为到三顶点距离的平方和最小的点。

4、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

5、三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，

则3PG^2(AP^2+BP^2+CP^2)-1/3(AB^2+BC^2+CA^2)。

6、在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3。

重心，是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成支点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。

不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定。物体的重心，不一定在物体上。另外，重心可以指事情的中心或主要部分。

扩展资料

三角形的三条中线交于一点为重心的证明

证明：设两中线BE、CF交于点G，连AG并延长交BC于D，延长GE至M，使EM=GE，连AM、CM.

∵AG、GM互相平分

∴四边形AGCM是平行四边形

∵F是AB的中点

∴G是BM的中点，又GD||AM

∴D是BC的中点，三条中线AD、BE、CF交于点G.

这点叫三角形的重心。

这点有物理意义，均匀质材的三角板的重量（质量）以该点为质心，因此这点叫三角形的重心。

参考资料来源：百度百科-重心

三角形重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

扩展资料：

一、三角形内心性质（设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2）：

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

2、∠BIC=90°+∠BAC/2

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD

4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

二、三角形外心的性质：

性质1：

（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

（3）钝角三角形的外心在三角形外.

（4）等边三角形外心与内心为同一点。

性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A)）.

性质3：∠GAC+∠B=90°

参考资料：百度百科-三角形重心

重心的几条性质  ：

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3

8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。

9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

扩展资料：

证明：

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。

证明1：燕尾定理：S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，

再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

证明2：塞瓦定理：如图1，在△ABC中，AD、BE、CF是中线，则AF=FB，BD=DC，CE=EA。

∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1 ∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点  。

参考资料：百度百科---重心

重心是三角形三边中线的交点
1,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

2，等积：
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3。重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

中线的交点