高考问答欣如信科技有限公司:求证数列公式
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/06 02:22:27
证1^2+2^2+3^2........n^2=(1/6)*n*(n+1)*(n+2)
用归纳法。
1）当n=1时，1^2=1*2*3/6=1，等式成立。
2）假设n=k时，1^2+2^2+3^2......+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立。
那么：
1^2+2^2+3^2......+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)/6*[k(2k+1)+6(k+1)]
=(k+1)/6*(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
等式也成立。
3）因为n=1等式成立，所以
1^2+2^2+3^2......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
恒成立
方法:数学归纳法
证明:1'当n=1时,1^2=1×(1+1)×(2+1)/6=1恒成立
2'假设当n=k,k≥1,k∈z时也成立.则
1^2+2^2+3^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
3'当n=k+1时
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=[k(k+1)(2k+1)/6]+(k+1)^2
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
∴假设正确
∴1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6