高考问答产品毕业设计:急求，关于两个高数的问题，谢谢
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/30 18:39:55
1、求由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy
2、设f(x)在〔0，1〕上可导，且0<f(x)<1,对（0，1）内所有x,f'(x)不等于1。证明：在（0，1）内，方程f(x)=x至多有一个实根。
3、设f(x)＝x(x-1)(x-2)…（x-n）,求f'(0).
谢谢大家帮个忙，要具体的计算过程。
2、设f(x)在〔0，1〕上可导，且0<f(x)<1,对（0，1）内所有x,f'(x)不等于1。证明：在（0，1）内，方程f(x)=x至多有一个实根。
3、设f(x)＝x(x-1)(x-2)…（x-n）,求f'(0).
谢谢大家帮个忙，要具体的计算过程。
第一题，这是个隐函数，两边对x求导得：
2y'-1=(1-y')*ln(x-y)+(x-y)*(1-y')/(x-y)=(1-y')*ln(x-y)+(1-y')
所以
[3+ln(x-y)]y'=ln(x-y)+2
y'=[ln(x-y)+2]/[ln(x-y)+3]
所以
dy=[ln(x-y)+2]dx/[ln(x-y)+3]
第二题，
令g(x)=f(x)-x，则原命题等价于g(x)=0在(0,1)上至多有一个实根。
所以g'(x)=f'(x)-1<0，即g(x)在(0,1)上为减函数。
这样g(x)=0在(0,1)内至多有一个实根。
第三题，
f'(x)=(x-1)(x-2)…(x-n)+x[(x-1)(x-2)…(x-n)}'
所以f'(0)=(-1)(-2)(-3)…(-n)=(-1)^n*n!