电信宽带分离器:用哈密顿原理证明重力场种自由落体的真实运动规律是z=gt2/2.

最速落径问题和变分法
　　数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。
　　铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩擦地滑下时，
　　以最短时间到达B点。
　　设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲线运
　　动速度为

　　质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
　　（7.6）
　　显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为
　　（7.7）
　　算符δ称为变分记号。
　　变分运算法则和微分运算法则相似：
　　（7.8）
　　（2）变分问题的欧拉方程
　　求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件：
　　为普遍起见，将（7.6）式改写
　　（7.9）
　　对上式求变分，令δJ=0：

　　因此，
　　（7.10）
　　（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程，思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？
　　（3）哈密顿原理
　　一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 来描述。在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点，随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻 和 体系位于位形空间的 点和 点，相应的广义坐标为
　　和 （或缩写为 和 ），由 点通向 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的真实轨道？即在 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 ？哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。

　　• 定义：
　　体系的拉格朗日函数在t1～t2 内的积分
　　（7.11）
　　为哈密顿作用量（或主函数），是 的泛函数。
　　• 哈密顿原理
　　1843年哈密顿提出：对于一个保守系的完整力学体系，其由动力学规律所决定的真实运动轨道可由泛函数
　　取极值的条件
　　（7.12）
　　给出——哈密顿原理。
　　对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为
　　（7.13）
　　式中 为广义力。
　　由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程，因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，各有优缺点，但都是等价的。