高考问答cfa180加6烈龙终结模式:一道数学
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/06 02:16:46
已知f(x)=x(x-1)(x-a),a>1
(1)求导数f'(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2
(2)若不等式f(x1)+f(x2)<=0成立，求a的取值范围。
(1)求导数f'(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2
(2)若不等式f(x1)+f(x2)<=0成立，求a的取值范围。
f(x)=x(x-1)(x-a)=x^3-(a+1)*x^2+a*x
f'(x)=3x^2-2*(a+1)*x+a
若f(x)有两个不同的极值点，则f'(x)=0必须有两个解
3x^2-2*(a+1)*x+a=0
△=4*(a+1)^2-12a=4(a^-a+1)=4(a-1/2)^2+3>0
所以有两个解，x1,x2 ,
所以就有
x1+x2=(2/3)*(a+1)
x1*x2=a/3
f(x)=x^3-(a+1)*x^2+a*x
f(x1)+f(x2)=x1^3-(a+1)*x1^2+a*x1+x2^3-(a+1)*x2^2+a*x2
=x1^3+x2^3-(a+1)(x1^2+x2^2)+a*(x1+x2)
=(x1+x2)^3-3x1*x2(x1+x2)-(a+1)[(x1+x2)^2-2x1*x2]+a*(x1+x2)
=(8/27)(a+1)^3-3*(a/3)*(2/3)(a+1)-(a+1)*[(4/9)(a+1)^2-2a/3]+a(a+1)*2/3
...
=(4/27)(a+1)(a-1/2)(a-2)
若f(x1)+f(x2)≤0，就是(4/27)(a+1)(a-1/2)(a-2)≤0
可以解得 a≤-1或者1/2≤a≤2
又已知条件已经给出a＞1
所以a的取值范围是：1＜a≤2
(1)∵f(x)=x(x-1)(x-a)
∴f'(x)=2x*x-2(a+1)x+a
∵f'(x)=0时的根就是极值
且原式为二次,Δ＞0
∴f(x)有两个不同的极值点x1,x2
晕,我求到都忘了
是高2的吧`