爱之永恒的诺言土豆网:线性代数的两道证明题,对高手是小菜一碟,对我们来说是救命稻草

大多数线性代数课本上都有这么两个习题或者例题，你应该做过的：
一、不存在奇数阶的可逆反对称矩阵；（大概是学了可逆那一节之后的习题）
二、设A是非0的n阶方阵，则：存在一个n阶非0阵B使AB=0的充分必要条件是|A|=0（大概是学了分块阵那一节之后的习题。）
这两个习题是非常常见的。呵呵你学到正交阵这里了肯定应该做过了。
利用这两个结论就好证：
1
A^2=A，也就是A(A-E)=0，而已知A≠E即A-E≠0，由上边第二个结论容易得出。
2
A正交阵所以A'A=E
E-A^2=A'A-A^2=(A'-A)A
而由于(A'-A)'=A-A'=-(A'-A),也就是A'-A是反对称阵，而且是奇数阶，所以它不可逆。所以|E-A^2|=|(A'-A)A|=0

（1）
因为A^2=A
所以
|A^2|=|A| => |A|^2=|A|
故|A|*(|A|-1)=0
因为A≠E
所以|A|≠1
所以|A|=0

（2）
以A'表示A的转置。
因为A是2n+1阶正交矩阵
所以A*A'=E
所以E-A^2=A*A'-A^2=A*(A'-A)
所以(E-A^2)'=[A*(A'-A)]'=(A'-A)'*A'=(A-A')*A'=-(A'-A)*A'
因为|E-A^2|=|(E-A^2)'|=>|A*(A'-A)|=|-(A'-A)*A'|
即|A|*|(A'-A)|=|-(A'-A)|*|A'|
=> |(A'-A)|=(-1)^(2n+1)*|(A'-A)|=-1*|(A'-A)|
=> |(A'-A)|=0
所以|E-A^2|=|A*(A'-A)|=0

1，A*A=A,SO |A||A|=|A|——〉|A|(|A|-1)=0;BECAUSE A~=E,SO |A|~=1-> |A|=0 END

2 同楼上

我只会第一题,
假设|A|不等于0则A^(-1)存在,
因为A*A=A所以A*A*A^(-1)=A*A^(-1)
即A=E和假设矛盾,