高考问答first电影节参赛方式:一道试题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/04/28 21:47:50
求证:3的n次方加1可以被2或4整除,但不能被2的更高次方整除
可以用数学归纳法：
设S＝3∧n+1
1、当n＝1时，S1=3∧1+1=4
4可以同时被2和4整除,但不能被8，16等2的更高次方整除；
2、设当n=t时，St=3∧t+1，S可以被2或4整除，且不能被2的更高次方整
除，设St=4k(k为正整数)
则当n＝t+1时，S(t+1)=3∧(t+1)+1=3×3∧t+3-2
=3St-2
=3×4k-2
=12k-2
显而易见,12k-2(k为正整数)是不能被8,16等2的更高次方整除的
综上所述:3的n次方加1可以被2或4整除,但不能被2的更高次方整除
很简单啊
（x+1)的n次方
当x=2的时候，就是问题中的主要内容了
（x+1)的n次方展开，最后三项是n*(n-1)*x*x/2+n*x+1
x=2，最后三项的结果是2*n*n+1，而前面的项目可以被8整除，可以忽略。
所以3的n次方加1后，不可以被8除的余数其实是2*n*n+2一样的。可以看得出，这个数可以被2整除（好像是废话）。
剩下来，只要证明n的平方+1最多只能被2整除，却肯定不能被4整除就可以了。
n是偶数时，n的平方+1是奇数，不能被2整除。
n是偶数时，假设n=2k+1，n*n=2*[2*(k*k+k)+1]，中括号里面明显是个奇数，因此，这个时候，n的平方+1最多只能被2整除，却肯定不能被4整除。
反推上去，3的n次方加1可以被2或4整除,但不能被8整除，更不用说2的更高次方了。
ps:不能写公式，很麻烦啊。还好写完了。
n=1，3，5，7，9......