酒店客房静音标准:Bernoulli不等式：(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r<0,x>=-1且x不等于0成立。如何用导数证明？

来源：百度文库编辑：高考问答时间：2024/04/28 17:12:39

这道题主要是利用求导判断单调性.

解答如下:
令函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx)
先求导得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1]
讨论:
(1)当r>1时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)>0
因此f(x)在R上是单调递增.
由于x>=-1且x不等于0,而且f(-1)=r-1>0
所以r>1,x>=-1且x不等于0,有f(x)>0
即有(1+x)^r>1+rx成立!!
(2)当r<0时,当-1<x<0时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)<0
因此f(x)在(-1,0)上是单调递减.
当r<0时,当x>0时,(1+x)^(r-1)<1,则f'(x)>0
因此f(x)在(0,正无穷大)上是单调递增.
这样在r<0,x>=-1且x不等于0时,f(x)最小值为f(0)=0
因此在r<0,x>=-1且x不等于0时,f(x)>0,
即(1+x)^r>1+rx成立.

综上所述:(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r<0,x>=-1且x不等于0成立。

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