广州出租宾利:数学十边型

先了解一下六 八边形
— 六边形与八边形翻板的探讨 —
一,研究动机:
上课的时候,老师拿出一个八边形的翻板,让我们预测八边形翻板经过翻转后,箭头会指向哪个方向.班上的同学经过思考后,推测箭头所指的方向,同学之间就已经有许多不同的看法与答案,当老师公布答案之时,所出现的结果竟是出乎多数人预料之外.小小的一个八边形翻板,竟然会带来如此的惊奇,引起我极大的兴趣,於是找了几位同学一起来研究.
※ 老师上课所提的问题,您也来试试看!
二,研究目的:
研究正六边形翻板的两个箭头旋转的规则及公式推导.
研究正八边形翻板的两个箭头旋转的规则及公式推导.
三,研究设备器材:
电脑,计算机,西卡纸,剪刀,刀片,铅笔,彩色笔
四,研究过程方法,结果与讨论:
(一).【正六边形翻板的公式推导】:
【研究过程】:
1.利用电脑绘制正六边形(边长约2.5公分)一个,并以所绘制的图形为模子,分别裁切出六个正六边形翻板.
2.制作两箭头透视夹角分为0°,60°,120°,180°,240°,300°的正六边形翻板各一个.
3.水平旋转翻板并记录箭头所指的角度.
> 以两箭头的夹角为120°的翻板推导为例
θ1:翻板正面的箭头与水平的夹角
θ2:箭头背面的箭头与水平的夹角(未翻转)
θ3:箭头背面的箭头与水平的夹角(翻转后)
4.整理以上数据,可得右方所列的表格
5.重复步骤3,依据实际翻转的观察结果,分别记录当两箭头的夹角
为0°,60°,120°,180°,240°,300°时,θ1,θ2及θ3
的数值为何,并整理出以下的表格.
【研究结果】:
实际翻转的观察结果:(当θ2>360°时 θ2=θ2-360°)
(1)当θ2=θ1+60° (2)当θ2=θ1+120° (3)当θ2=θ1+180° (4)当θ2=θ1+240° (5)当θ2=θ1+300° (6)当θ2=θ1
【公式推导及讨论】:
正六边形翻板的公式推导:
θ1:翻板正面的箭头与水平的夹角
θ2:箭头背面的箭头与水平的夹角(未翻转)
θ3:箭头背面的箭头与水平的夹角(翻转后)
由以上的结果发现六边形翻板
观察上列表格发现,θ2与θ3之和皆为360°
公式推导如下:(如右图)
因为 θ2=θ 且 θ+θ3=360°
所以 θ2+θ3=360°
若θ1及θ1与θ2的夹角为已知,套入以下公式即可求出θ2及θ3
θ2=θ1+(θ1与θ2的夹角)
θ3=360°-θ2
(1) 当θ2=θ1+60° (2) 当θ2=θ1+120° (3) 当θ2=θ1+180°
(4) 当θ2=θ1+240° (5) 当θ2=θ1+300° (6) 当θ2=θ1
分析综合以上六个表格发现:
(1) 当θ2与θ1之角度相差0°,120°,240°时,旋转后的夹角有0°or 120°or 240°三种.
(2) 当θ2与θ1之角度相差60°,180°,300°时,旋转后的夹角有60°or 180°or 300°三种.
θ2-θ1(旋转前之夹角)
θ3-θ1(旋转后之夹角)
旋转后之夹角可能性
0°,120°,240°
0°or 120°or 240°
三种
60°,180°,300°
60°or 180°or 300°
三种
(二).【正八边形翻板的公式推导】:
【研究过程】:
利用电脑绘制正八边形(边长约2.5公分)一个,并以所绘制的图形为模子,分别裁切出八个正八边形翻板.
制作两箭头透视夹角分为0°,45°,90°,135°,180°,225°,270°,315°的正八边形翻板各一个.
依据实际翻转的观察结果,分别记录当两箭头的夹角为0°,45°,90°,135°,180°,225°,270°,315°时,θ1,θ2及θ3的数值为何,并整理出以下的表格.
【研究结果】:
实际翻转的观察结果:(当θ2>360°时 θ2=θ2-360°)
(1)当θ2=θ1 (2)当θ2=θ1+45° (3)当θ2=θ1+90° (4)当θ2=θ1+135° (5)当θ2=θ1+180° (6)当θ2=θ1+225°

θ1:翻板正面的箭头与水平的夹角
θ2:箭头背面的箭头与水平的夹角(未翻转)
θ3:箭头背面的箭头与水平的夹角(翻转后)
【公式推导及讨论】:
正八边形翻板的公式推导:
由以上的结果发现正八边形翻板与正六边形翻板皆有以下(1).(2).两点相同的结果
(1) 观察上列表格发现,θ2与θ3之和皆为360°
公式推导如下:(如右图)
因为 θ2=θ 且 θ+θ3=360°
所以 θ2+θ3=360°
(2) 若θ1及θ1与θ2的夹角为已知,套入以下
公式即可求出θ2及θ3
θ2=θ1+(θ1与θ2的夹角)
θ3=360°-θ2
(1) 当θ2=θ1+45° (2) 当θ2=θ1+90° (3) 当θ2=θ1+135° (4) 当θ2=θ1+180°
(5) 当θ2=θ1+225° (6) 当θ2=θ1+270° (7) 当θ2=θ1+315° (8) 当θ2=θ1
分析综合以上八个表格发现:
(1) 当θ2与θ1之角度相差 0°, 90°,180°,270°时,旋转后的夹角有0°or 90°or 180°or 270°四种可能.
(2) 当θ2与θ1之角度相差45°,135°,225°,315°时,旋转后的夹角有45°or 135°or 225°or 315°四种可能.
θ2-θ1(旋转前之夹角)
θ3-θ1(旋转后之夹角)
旋转后之夹角可能性
0°, 90°,180°,270°
0°, 90°,180°,270°
四种
45°,135°,225°,315°
45°,135°,225°,315°
四种
六,结论:
本研究仅针对正六边型及正八边形的翻板,在两个箭头不同夹角的情况下,就水平翻转进行公式的推导,此研究可延伸至正十边形,正十二边形,乃至於正2n边形公式或不同翻转的角度,运用电脑进行公式推导,是将来可持续研究的方向.
组 别:数 学 组 指导老师:王锦铭 老师
研究人员:五,4林 炜;五,1宋健宇;五,1洪伟翔;五,5周志鸿
旋转轴
θ3
θ1
θ2
θ3
0°
120°
240°
60°
180°
180°
120°
240°
120°
180°
300°
60°
240°
360°
0°
300°
60°
300°
θ1
θ2
θ3
0°
180°
180°
60°
240°
120°
120°
300°
60°
180°
360°
0°
240°
60°
300°
300°
120°
240°
θ1
θ2
θ3
0°
60°
300°
60°
120°
240°
120°
180°
180°
180°
240°
120°
240°
300°
60°
300°
360°
0°
θ1
θ2
θ3
0°
240°
120°
60°
300°
60°
120°
360°
0°
180°
60°
300°
240°
120°
240°
300°
180°
180°
θ1
θ2
θ3
0°
300°
60°
60°
360°
0°
120°
60°
300°
180°
120°
240°
240°
180°
180°
300°
240°
120°
θ1
θ2
θ3
0°
360°
0°
60°
60°
300°
120°
120°
240°
180°
180°
180°
240°
240°
120°
300°
300°
60°
θ1
正面
反面翻转后
反面翻转前透视图
旋转轴
θ3
θ2
θ2
旋转轴
旋转180°
θ
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
120°
240°
120°
240°
60°
180°
180°
120°
120°
120°
240°
120°
120°
0°
180°
300°
60°
120°
120°or 240°
240°
360°
0°
120°
240°or 120°
300°
60°
300°
120°
0°
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
60°
300°
60°
300°
60°
120°
240°
60°
180°
120°
180°
180°
60°
60°
180°
240°
120°
60°
60°or 300°
240°
300°
60°
60°
180°or 180°
300°
360°
0°
60°
300°or 60°
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
240°
120°
240°
120°
60°
300°
60°
240°
0°
120°
360°
0°
240°
120°or 240°
180°
60°
300°
240°
120°
240°
120°
240°
240°
0°
300°
180°
180°
240°
120°or 240°
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
180°
180°
180°
180°
60°
240°
120°
180°
60°
120°
300°
60°
180°
60°or 300°
180°
360°
0°
180°
180°
240°
60°
300°
180°
60°
300°
120°
240°
180°
60°or 300°
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
300°
60°
300°
60°
60°
360°
0°
300°
60°or 300°
120°
60°
300°
300°
180°
180°
120°
240°
300°
60°
240°
180°
180°
300°
60°or 300°
300°
240°
120°
300°
180°
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
0°
0°
0°
0°
60°
60°
300°
0°
240°
120°
120°
240°
0°
120°
180°
180°
180°
0°
0°
240°
240°
120°
0°
120°or 240°
300°
300°
60°
0°
240°or 120°
图一:翻转前正面箭头指向上方
图二:水平翻转后,翻板的箭头
指向右方
图三:将图一的翻板依顺时针方向
旋转45°后,箭头指向右上方
图四:将图三的翻板,经过水平方向翻转后,请问箭头会指向哪个方向

左下
左上
上
下
右
左
右上
右下
左上
左下
右下
右上
左
右
下
上
左下
左上
右下
右上
左
右
下
上
左下
左上
右下
右上
左
右
下
上
0°
60°
120°
180°
240°
300°
120°
60°
120°
0°
240°
300°
180°
180°
300°
240°
0°
120°
60°
θ1
θ2
θ3
0°
180°
180°
45°
225°
135°
90°
270°
90°
135°
315°
45°
180°
0°
360°
225°
45°
315°
270°
90°
270°
315°
135°
225°
180°
300°
240°
0°
120°
60°
120°
180°
300°
240°
0°
120°
60°
θ1
θ2
θ3
0°
225°
135°
45°
270°
90°
90°
315°
45°
135°
0°
360°
180°
45°
315°
225°
90°
270°
270°
135°
225°
315°
180°
180°
:翻转前-翻板背面的箭头所指的方向
:翻转前-翻板正面的箭头所指的方向
180°
300°
240°
0°
120°
60°
θ1
θ2
θ3
0°
0°
360°
45°
45°
315°
90°
90°
270°
135°
135°
225°
180°
180°
180°
225°
225°
135°
270°
270°
90°
315°
315°
45°
180°
300°
240°
0°
120°
60°
120°
θ1=0° θ2=120° θ3=240°
水平翻转前
水平翻转后
水平翻转后
水平翻转前
水平翻转后
水平翻转前
:翻转后-翻板背面的箭头所指的方向
:翻转后-翻板正面的箭头所指的方向
θ1=60° θ2=180° θ3=180°
θ1=120°θ2=240°θ3=120°
θ1=180°θ2=300°θ3=60°
水平翻转后
水平翻转前
180°
300°
240°
0°
120°
60°
θ1
θ2
θ3
0°
135°
225°
45°
180°
180°
90°
225°
135°
135°
270°
90°
180°
315°
45°
225°
0°
360°
270°
45°
315°
315°
90°
270°
180°
300°
240°
0°
120°
60°
120°
θ1=240°θ2=360°θ3=0°
水平翻转后
水平翻转前
180°
300°
240°
0°
120°
60°
θ1
θ2
θ3
0°
120°
240°
60°
180°
180°
120°
240°
120°
180°
300°
60°
240°
360°
0°
300°
60°
300°
180°
300°
240°
0°
120°
60°
120°
θ1=300°θ2=60°θ3=300°
水平翻转后
水平翻转前
180°
300°
240°
0°
120°
60°
θ1
θ2
θ3
0°
90°
270°
45°
135°
225°
90°
180°
180°
135°
225°
135°
180°
270°
90°
225°
315°
45°
270°
360°
0°
315°
45°
315°
180°
300°
240°
0°
120°
60°
120°
θ1
θ2
θ3
0°
45°
315°
45°
90°
270°
90°
135°
225°
135°
180°
180°
180°
225°
135°
225°
270°
90°
270°
315°
45°
315°
360°
0°
θ1
θ2
θ3
0°
315°
45°
45°
0°
360°
90°
45°
315°
135°
90°
270°
180°
135°
225°
225°
180°
180°
270°
225°
135°
315°
270°
90°
θ1
θ2
θ3
0°
270°
90°
45°
315°
45°
90°
0°
360°
135°
45°
315°
180°
90°
270°
225°
135°
225°
270°
180°
180°
315°
225°
135°
旋转180°
θ3
反面翻转后
θ2
翻转前反面透视图
旋转轴
θ
(7) 当θ2=θ1+270° (8) 当θ2=θ1+315°
θ3
旋转轴
θ2
正面
θ1
旋转180°
θ3
旋转轴
θ
旋转轴
θ2
正六边形翻板
正八边形翻板
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
45°
315°
45°
315°
45°
90°
270°
45°
225°
90°
135°
225°
45°
135°
135°
180°
180°
45°
45°
180°
225°
135°
45°
45°
225°
270°
90°
45°
135°
270°
315°
45°
45°
225°
315°
360°
0°
45°
315°
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
90°
270°
90°
270°
45°
135°
225°
90°
180°
90°
180°
180°
90°
90°
135°
225°
135°
90°
0°
180°
270°
90°
90°
90°
225°
315°
45°
90°
180°
270°
360°
0°
90°
270°
315°
45°
315°
90°
0°
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
135°
225°
135°
225°
45°
180°
180°
135°
135°
90°
225°
135°
135°
45°
135°
270°
90°
135°
45°
180°
315°
45°
135°
135°
225°
360°
0°
135°
225°
270°
45°
315°
135°
45°
315°
90°
270°
135°
45°
θ1
θ2
θ3
θ2-θ1
│θ3-θ1│
0°
180°
180°
180°
180°
45°
225°
135°
180°
90°
90°
270°
90°
180°
0°
135°
315°
45°
180°
90°
180°
360°
0°
180°
180°
225°
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