劈腿心理学:设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f(x+y）＝f(x)+f(y)成立，且f(1)=-2,当x>0时，f(x)<0

(1)令y=-x,则f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x)，以f(x+0)=f(x)=f(x)+f(0)，所以f(0)=0,所以f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数

(2)当x,y>0时,f(x+y)=f(x)+f(y)<f(x)，即f(x)在x>0上递减，所以f(x)在[-2005,2005]上递减，f(-2005)为最大值，f(2005)为最小值。

(3)原式<=>f(bx^2)/2+f(b)>f(x)+f(b^2x)/2
又因为f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)，所以f(x)=f(2x)/2,
所以原式<=>f(bx^2/2)+f(b)>f(x)+f(b^2x/2)
<=>f(bx^2/2+b)>f(x+b^2x/2)
而f(x)递减，
所以原式<=>bx^2/2+b<x+b^2x/2
<=>bx^2/2-(b^2/2+1)x+b<0
这个方程的b^2-4ac=(b^2/2-1)^2>=0,
而已知b^2>=2,所以b^2/2-1>=0，
求得x1=2/b,x2=b，且由b^2>=2可知x1<x2，
所以2/b<x<b

(1)令 x=0,y=0 有f(0+0)=f(0)+f(0)=2*f(0)
所以f(0)=0；
f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)=-f(-x) 因此f(x)为奇函数
(2)令t=x+y>x (其中y>0)
则f(t)=f(x)+f(y)<f(x)
又f(x)为奇函数，所以f(x)为单调递减的奇函数
当-2005=<x<＝2005时；f(x)的最大值为f(-2005)；最小值为f(2005)
(3)0.5f(bx^2)-f(x)>0.5f[(b^2)x]-f(b)
等价于f(bx^2-2x-(b^2)x+b)>0
等价于bx^2-2x-(b^2)x+2b<0
所以：
当b>0时 2/b <x< b
当b<0时 x> 2/b 或者 x<b

离开高中好多年了，做题的规范忘的差不多了，你就凑合一下吧。呵呵

好象是高中的数学题哎！！
呵呵~~~
把f函数看成是指数函数就简单了吧。。。。
就是-2的x次方函数。。。
证明。。我给忘了。。。
翻一下高中的数学模拟卷，有很多类似的，找一下吧。。。。