高考问答无印良品经典歌曲:一个我不会解的递归方程
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/09 02:36:20
条件如下：
f(n)=(2/n)∑f(i)+n-1,i∈〔0,n-1〕
f(0)=f(1)=0
求f(n)的表达式。
f(n)=(2/n)∑f(i)+n-1,i∈〔0,n-1〕
f(0)=f(1)=0
求f(n)的表达式。
记T(k)是从1到k的调和级数，也就是从1到k的自然数倒数之和：
T(k)=1+1/2+1/3+...+1/k，
则原方程解为：
f(n)=-(4n+2)+(2n+2)*T(n+1)，n的范围是从0开始的。你可以自行验算。
过程如下：
f(n)=(2/n)∑f(i)+n-1
n*f(n)=2∑f(i)+n*(n-1)----0<i<n-1
(n+1)*f(n+1)=2∑f(i)+n*(n+1)----0<i<n
两式相减
(n+1)*f(n+1)=2n+(n+2)*f(n)
分裂因子
(n+1)*[f(n+1)-4]=(n+2)*[f(n)-2]
同除系数
[f(n+1)-4]/(n+2)=*[f(n)-2]/(n+1)
设u(n)=[f(n)-2]/(n+1)，则化为简单的递归方程
u(n+1)-u(n)=2/(n+2)，初值u(0)=-2
叠加得
u(n)=-4+2*T(n+1)
回代f(n)……以下略
教你一招巧妙的方法，即“母函数法”。
设F(x)=∑f(n)x^n (n 跑遍所有值)
你的递归方程实际上就是：
2F(x)/(1-x)+2x/(1-x)^3= F'(x)
这是个简单的常微分方程，你查查书，把F(x)解出来，然后用幂级数展开，其系数就是f（n）的表达式。
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有金点子！！
都已经忘干净啦！如果悬赏分高一些倒是值得去求教高手去哈。
你要解什么呢？
是要把它化成一般式吗？