王清芬的葬礼:勾股定理的解答题

【证法1】（课本的证明）

　　做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

　　从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

　　， 整理得 .

　　【证法2】（邹元治证明）

　　以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

　　∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

　　∴ ∠AHE = ∠BEF.

　　∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

　　∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

　　∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

　　∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

　　正方形. 它的面积等于c2.

　　∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

　　∴ ∠HGD = ∠EHA.

　　∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

　　∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

　　又∵ ∠GHE = 90º,

　　∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

　　∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .

　　∴ . ∴ .

　　【证法3】（赵爽证明）

　　以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

　　边作四个全等的直角三角形，则每个直角

　　三角形的面积等于 . 把这四个直角三

　　角形拼成如图所示形状.

　　∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

　　∴ ∠HDA = ∠EAB.

　　∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

　　∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

　　∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

　　∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

　　∠HEF = 90º.

　　∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .

　　∴ .

　　∴ .

　　【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

　　以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

　　∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

　　∴ ∠ADE = ∠BEC.

　　∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

　　∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

　　∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

　　∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

　　它的面积等于 .

　　又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

　　∴ AD‖BC.

　　∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .

　　∴ .

　　∴ .

　　【证法5】（梅文鼎证明）

　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

　　即 ∠CBD= 90º.

　　又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　,

　　∴ .

　　【证法6】（项明达证明）

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ，垂足为N.

　　∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC，

　　∴ ∠MPC = 90º，

　　∵ BM⊥PQ，

　　∴ ∠BMP = 90º，

　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

　　∴ ∠QBM = ∠ABC，

　　又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

　　从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

　　【证法7】（欧几里得证明）

　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，

　　交AB于点M，交DE于点

　　L.

　　∵ AF = AC，AB = AD，

　　∠FAB = ∠GAD，

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

　　∵ ΔFAB的面积等于 ，

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半，

　　∴ 矩形ADLM的面积 = .

　　同理可证，矩形MLEB的面积 = .

　　∵ 正方形ADEB的面积

　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

　　∴ ，即 .

　　【证法8】（利用相似三角形性质证明）

　　如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

　　在ΔADC和ΔACB中，

　　∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

　　∠CAD = ∠BAC，

　　∴ ΔADC ∽ ΔACB.

　　AD∶AC = AC ∶AB，

　　即 .

　　同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .

　　∴ ，即 .

　　【证法9】（杨作玫证明）

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

　　∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

　　∴ ∠DAH = ∠BAC.

　　又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

　　AD = AB = c，

　　∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

　　∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

　　由作法可知， PBCA 是一个矩形，

　　所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

　　CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

　　∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

　　RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

　　∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

　　∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

　　又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

　　∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

　　∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

　　∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

　　∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

　　用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

　　①

　　∵ = ，

　　，

　　∴ = . ②

　　把②代入①，得

　　= = .

　　∴ .

　　【证法10】（李锐证明）

　　设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

　　∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90º，

　　∴ ∠TBH = ∠ABE.

　　又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

　　BT = BE = b，

　　∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

　　∴ HT = AE = a.

　　∴ GH = GT―HT = b―a.

　　又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

　　∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，

　　∴ ∠GHF = ∠DBC.

　　∵ DB = EB―ED = b―a，

　　∠HGF = ∠BDC = 90º，

　　∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .

　　过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE

　　= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

　　RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .

　　由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

　　∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

　　∴ ∠FQM = ∠CAR.

　　又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

　　∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .

　　∵ ， ， ，

　　又∵ ， ， ，

　　∴
　　=
　　= ，

　　即 .

　　【证法11】（利用切割线定理证明）

　　在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

　　=
　　=
　　= ，

　　即 ，

　　∴ .

　　【证法12】（利用多列米定理证明）

　　在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

　　，

　　∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

　　AC = BD = b，

　　∴ ，即 ，

　　∴ .

　　【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

　　在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

　　∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

　　∴
　　= = r + r = 2r,

　　即 ，

　　∴ .

　　∴ ，

　　即 ，

　　∵ ，

　　∴ ，

　　又∵ = =
　　= = ，

　　∴ ，

　　∴ ，

　　∴ ， ∴ .

　　【证法14】（利用反证法证明）

　　如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

　　假设 ，即假设 ，则由

　　= =
　　可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

　　在ΔADC和ΔACB中，

　　∵ ∠A = ∠A，

　　∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

　　∠ADC≠∠ACB.

　　在ΔCDB和ΔACB中，

　　∵ ∠B = ∠B，

　　∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

　　∠CDB≠∠ACB.

　　又∵ ∠ACB = 90º，

　　∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

　　这与作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假设不能成立.

　　∴ .

　　【证法15】（辛卜松证明）

　　设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 = .

　　∴ ,

　　∴ .

　　【证法16】（陈杰证明）

　　设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

　　在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

　　则 AD = c.

　　∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

　　∴ DM = EM―ED = ―a = b.

　　又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，

　　∠AED = 90º， AE = b，

　　∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

　　∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.

　　∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

　　∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，

　　∴ ∠ADC = 90º.

　　∴ 作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

　　∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，

　　∴ ∠BAF=∠DAE.

　　连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

　　∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，

　　∴ ΔABF ≌ ΔADE.

　　∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.

　　∴ 点B、F、G、H在一条直线上.

　　在RtΔABF和RtΔBCG中，

　　∵ AB = BC = c，BF = CG = a，

　　∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

　　∵ ， ， ，

　　，

　　∴
　　=
　　=
　　=
　　∴ .

勾`股`弦` 勾3股4弦5`

A^2+B^2=C^2

勾3股4弦5
A^2+B^2=C^2

∵在Rt△ABC中，a^2+b^2=c^2
∴……