所恶有甚于死者的恶:一道数列题

答案为(1)(a3)=2;(2)数学归纳法，详解见下；(3)(an)=n+(-1)^n;(Sn)=[(n^2+n-1)+(-1)^n]/2
解：(1)由已知(a4)*(a3)=[(a2)+2][(a1)+2]=2*5
因为{an}是由非负整数数列，所以a3=5,a4=2或a3=2或a4=5
将两组解分别代入(a5)*(a4)=[(a3)+2][(a2)+2]中，
(a3)=5,(a4)=2时a5无整数解(a3)=2或(a4)=5时符合条件，故(a3)=2
(2)(a3)、(a4)均符合递推式
假设n<k时递推式成立，那么有(ak-1)=(ak-3)+2
由(ak)(ak-1)=[(ak-2)+2][(ak-3)+2]=[(ak-2)+2](ak-1)
因为{an}是由非负整数数列，即(ak-1)>0，
于是(ak)=(ak-2)+2
(3)n为奇数时(an)=n-1，n为偶数时(an)=n+1
合并得(an)=n+(-1)^n
设前n项中奇数项之和为A，偶数项之和为B
当n为奇数时，(Sn)=A+B={[0+(n-1)]/2}[(n+1)/2]+[(3+n)/2][(n-1)/2]=(n^2+n-2)/2
当n为偶数时，(Sn)=A+B={[0+(n-2)]/2}(n/2)+{[3+(n+1)]/2}(n/2)=(n^2+n)/2
合并得(Sn)=[(n^2+n-1)+(-1)^n]/2

[注]a^b表示a的b次方
(ab)及(ab-m)分别表示数列{an}的第b项和第b-m项
(Sn)就是前n项和

1)Sn=2An-3 ,Sn-1=2An-1 - 3
Sn-Sn-1=2(An -An-1)=An
An=2An-1
S1=A1=2A1-3,A1=3
所以 An=3*2^(n-1)
2)bn=2的n次方分之n倍的An,
bn=3*2^(n-1)/2^n =3/2
b1=3/2
Sbn=3n/2