高考问答虹口学区 初中:哪为高手快做一下这道导数解题
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/12 04:22:35
求证：函数y=1+x+x(二次方)+....+x(n次方)在点x=2处的导数为1+(n-1)*2(n次方)
证: 令原式为f(x)=y,则f(x)导数为
f'(x)=1+2x+3x(平方)+...+nx(n-1次方) (1)
xf'(x)=x+2x(平方)+...+(n-1)x(n-1次方)+nx(n次方) (2)
(1)-(2)得: (1-x)f'(x)=1+x+x(平方)+...+x(n-1次方)-nx(n次方)
=1+x(1-x(n-1次方))/(1-x)-nx(n次方)
然后代2进去再化一下就行了!
解：y==1+x+x^2+x^3+……+x^n==[x^(n+1)-1]/(x-1)[注]
由商的导数运算公式：
y'=={(n+1)(x-1)x^n-[x^(n+1)-1]}/(x-1)^2
y'(2)==(n+1)2^n-[2^(n+1)-1]
==n2^n+2^n-2^(n+1)+1
==n2^n+2^n-2*2^n+1
==n2^n-2^n+1
==(n-1)2^n+1
注：1.x^n表示x的n次幂。
2.y==1+x+x^2+x^3+……+x^n==[x^(n+1)-1]/(x-1)的计算方法(错位相减)：
由xy==x+x^2+x^3+……+x^(n+1)
故y==(xy-x)/(x-1)==[x^(n+1)-1]/(x-1)