高考问答虹口区建交委:证明统一
来源：百度文库 编辑：高考问答 时间：2024/05/03 21:07:18
证明：当n为大于2的整数时，n 的5次方－5×n的3次方+4n 能被120整除。
谢谢，怎么解？？
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n 的5次方－5×n的3次方+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
因为n>2故(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)>0
(n-2)(n-1)能被2整除
(n+1)(n+2)能被2整除
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)被4整除
又因为n，(n+1)，(n+2)连续三个整数，必有一个是3的倍数
因而n(n+1)(n+2)能被3整除
即(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)被3整除
(n-2)，(n-1)，n，(n+1)，(n+2)，是连续5个整数，必有一个是5的倍数
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)被5整除
所以(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)被3*4*5=120整除
解：原式=n5—5n3+4n =n(n4—5n2+4)
=n(n2—4)(n2—1) =(n—2)(n—1)n(n+1)(n+2)
∵n＞2 120=2×3×4×5
∴n5—5n3+4n能被120整除。
因式分解
原式=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)
由于这是五个连续的正整数
其中必定有一个是三的倍数
必定有一个是五的倍数
其中必定有一个是四的倍数，而且有一个除以四余数为2，所以这个式子含有因数8
由于3*5*8=120
所以这个式子能被120整除