www.tv18cn:关于完满数的问题

完满数的未解之谜

完满数是否都是偶数？

截至今天，已发现的完满数都是偶数，但是是不是所有的完满数都是偶数，至今无人能够证明。

完满数是否无穷？

从提出完满数的概念到现在已经过去了3000年的时间，发现的完满数才不过寥寥30个，虽然借助了现代计算机作为工具，但是发现完满数这一任务还是变得越来越艰难；但是这并不足以说明完满数是有限的，完满数是否无穷、如何证明仍是个未解之谜。

完满数的欧几里得法则
归类于： 完满数 — 铁成 at 11:35 pm on 星期二, 五月 16, 2006
毕达哥拉斯定义了完满数，但是却没有给出完满数的算法。

在毕达哥拉斯之后两个世纪，欧几里得（Euclid）对于完满数的研究使得毕达哥拉斯发现的倍2性与完满性之间的联系更加完美！

欧几里得发现完满数总是两个数的乘积，其中一个数是2的n次幂，另一个数是2的(n+1)次幂减去1。如：

6 = 2*(2^2-1)

28 = 2^2*(2^3-1)

496=2^4*(2^5-1)

……

在现代计算机的辅助下，证明了即使大到2^216090*(2^216091-1)这样的天文数字仍旧符合欧几里得法则，这个数字的为数已经超过了130000位。

即便如此，关于完满数仍有许多未解之谜。

距离完满数只有一步之遥的微亏数

上次说到完满数的话题，毕达哥拉斯发现了这些美妙的完满数之后，并没有停止针对的研究，并且不断发现完满数相关的更多性质。这其中，微亏数就是一个收获。

我们知道完满数等于自身因数之和，那么什么是微亏数呢？微亏数就是自身因数之和比数字本身只小于1的数。

例如：6=1+2+3 是个完满数；4比自身的因数之和(1+2)只大1，4就是个微亏数。

毕达哥拉斯发现的微亏数性质在于“完满性”与“倍2性”有密切关系，数2*2、2^3、2^4…这个数列是2的幂，可以写作2^n；这个数列的数字都不是完满数，这个性质并不特殊，巧合的是2^n都是微亏数：

2^2=4 因数之和 1+2=3

2^3=8 因数之和 1+2+4=7

2^4=16 因数之和 1+2+4+8=15

……

由此看来，微亏数得来全不费功夫，但是与微亏数相对的微盈数（比自身的因数之和小1）呢？是否存在？有无规律？

遗憾的是，毕达哥拉斯没有证明这个关于微盈数的任何猜想，经过2500多年的时间，还没有数学家发现一个微盈数、另一方面也无法证明这种数字的不存在。

从完满数开始

按照毕达哥拉斯的说法，数的完满取决于它自身的因数。

最有意义和最少见的数就是那些因数之和等于本身的数，这些数称为完满数。数字6的因数是1、2、3，那么它就是完满数中最小的一个，因为6=1+2+3。 下一个完满数是28，28=1+2+4+7+14。

而当数字自身的因数之和大于该数本身的时候，这个数称为“盈”数，反之称为“亏”数。121+2+5，10就是个亏数。

除了数字表面的含义之为，人们愿意给完满数赋予更多完满的涵义，有人观察到月亮28天绕地球一圈，有人声称上帝用6天时间创造了世界。

在无穷的数字之中，寻找完满数并不是容易的事情。在6和28之后，下一个完满数是496，第四个是8128，第五个数字已经是8位的33550336了。

除了完满性质之外，毕达哥拉斯还指出了完满数的更多美妙特质。例如，完满数总等于一系列相邻的数字之和。

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+4+5+……+30+31

不错