暗月城堡龙鳞在哪买:数学竞赛题!

难住了，反证法那个也不对，是等价的，判别式不具有一般性...正在想，使劲想哪，呵呵
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A、B是两个整数根则有
A + B = -10m ........为10的整数倍，所以A、B个位数可以组成(1，9)、(2，8)、(3，7)、(4，6)、(5，5)对...如果异号则为(k，k)对。

A*B = 5n - 3

对于上述同号数对情况，5*n - 3 的个位数包括：2、7、8三种，没有符合条件的组合（1*9=9,2*8=6,3*7=1,4*6=4,5*5=5），只能考虑异号数对，而且 k*k 的个位数是2、7或者8....
0*0 = 0
1*1 = 1
2*2 = 4
3*3 = 9
4*4 = 6
5*5 = 5
6*6 = 6
7*7 = 9
8*8 = 4
9*9 = 1
没有符合条件的情况，所以假设A、B均为整数的情况不成立！

OVER....哈哈哈哈....

根据求根公式可知，x＝5m加减（（25m^2-5n-3）的开方），如果25m^2-5n-3是整数的平方，则x有整数解，
假设k是一个整数，25m^2-5n-3＝k^2,则
5m^2-n=(k^2+3)/5
考虑k^2的个位数情况从0－9分别对应0、1、4、9、6、5、6、9、4、1，则k^2+3的个位数分别对应3、4、7、2、9、8、9、2、7、4，不可能是5的整数倍，所以=(k^2+3)/5不可能是整数，而5m^2-n肯定是整数（因为m、n都是整数），所以假设不成立，满足条件的k不存在，所以

完成

观察两个方程的判别式的值。若方程有整树根，则Δ值为完全平方数。
Δ1=(10m)²-4(5n+3)=4(25m²-5n-3)，
Δ2=(10m)²-4(5n-3)=4(25m²-5n+3)，
因为4是完全平方数，欲使Δ1和Δ2是完全平方数，只需使(Δ1)/4和Δ2/4是完全平方数。易知(Δ1)/4除以5余2，Δ2/4除以5余3。
以下是对完全平方数性质的讨论。k为整数。
若n=5k±1，则n²=(5k±1)²=5(5k²±2k)+1除以5余1；
若n=5k±2，则n²=(5k±2)²=5(5k²±4k)+4除以5余4；
若n=5k，则n²=(5k)²=5(5k²)除以5余0。因此完全平方数除以5所得余数只可能是0,1,4，不可能是2和3。
由此可知(Δ1)/4和Δ2/4都不是完全平方数，因此两方程都没有整数根。实际上两方程都没有有理根，这是后话。

观察两个方程的判别式的值。若方程有整树根，则Δ值为完全平方数。
Δ1=(10m)²-4(5n+3)=4(25m²-5n-3)，
Δ2=(10m)²-4(5n-3)=4(25m²-5n+3)，
因为4是完全平方数，欲使Δ1和Δ2是完全平方数，只需使(Δ1)/4和Δ2/4是完全平方数。易知(Δ1)/4除以5余2，Δ2/4除以5余3。
以下是对完全平方数性质的讨论。k为整数。
若n=5k±1，则n²=(5k±1)²=5(5k²±2k)+1除以5余1；
若n=5k±2，则n²=(5k±2)²=5(5k²±4k)+4除以5余4；
若n=5k，则n²=(5k)²=5(5k²)除以5余0。因此完全平方数除以5所得余数只可能是0,1,4，不可能是2和3。
由此可知(Δ1)/4和Δ2/4都不是完全平方数，因此两方程都没有整数根。实际上两方程都没有有理根，这是后话。