青理印象明信片:数学题，一元一次方程，要步骤答案，好的追加100分

答案的结果注意观察，就是等号前的个数为单数的那个数字的平方！所以1+2+3+.....+9+....+3+2+1=9*9
1+2+3+.....+100+...+3+2+1=100*100
1+2+3+.....+2004+....+3+2+1=2004*2004

解：由已知规律，猜想可得，
1+2+……（n-1）+n+（n-1)+……+2+1＝n*n
当n＝1时，1＝1^2，成立
当n＝2时，1+2+1=4=2*2 成立
当n≥3，n属于N时，1+2+……（n-1）+n+（n-1)+……+2+1＝2*〔1+2+……（n-1）+n〕-n＝2*（1+n）*n/2-n＝n*n+n-n＝n*n，成立

所以，
1+2+3+.....+9+....+3+2+1=9*9
1+2+3+.....+100+...+3+2+1=100*100
1+2+3+.....+2004+....+3+2+1=2004*2004

1+2+3+.....+9+....+3+2+1=?
1+2+3+.....+100+...+3+2+1=?
1+2+3+.....+2004+....+3+2+1=?
根据题目可知用观察法，看规律，如果要推论，推论如下：
1+2+...+n+(n-1)+...+2+1＝(1+2+...+n)+[(1+2+...+(n-1)]=n*(1+n)/2+(n-1)*(1+n-1)/2=(n^2+n+n^2-n)/2=
n^2

从规律来看，等式为最中间的数字的2次方。所以
第一题：1+2+3...+9＋...＋3+2+1,中间数为9因此＝9*9＝81，依此类推
第二题＝100*100＝10000
第三题＝2004*2004＝4016016

1+2+1=4=2*2
1+2+3+2+1=9=3*3
1+2+3+4+3+2+1=16=4*4
根据以上的规律,计算下列各题
1+2+3+.....+9+....+3+2+1=?
1+2+3+.....+100+...+3+2+1=?
1+2+3+.....+2004+....+3+2+1=?
答：由已知规律，可得
An=1+2+...+n+(n-1)+...+2+1=n^2
现在我们用数学归纳法证明以上结论：
1）很显然A1=1=1^2成立
2）假设An=1+2+...+n+(n-1)+...+2+1=n^2成立，
则An+1=1+2+...+n+（n+1）+n+(n-1)+...+2+1=An+(n+1)+n=An+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2
所以由已知条件推断出来的公式An=1+2+...+n+(n-1)+...+2+1=n^2成立
由此公式：得
1+2+3+.....+9+....+3+2+1=9*9
1+2+3+.....+100+...+3+2+1=100*100
1+2+3+.....+2004+....+3+2+1=2004*2004