重庆小面快餐加盟:高分求助数列题

a[1]>=1,1/(1+a[1])<=1/2,a[n+1]+n+1=(a[n]+n)^2
即第二题的数列b(n)是一个b(1)<=1/2,b(n+1)=b(n)^2
问题就迎刃而解拉。解不等式把不等式左边扩大
b(1)+b(2)+...+b(n)<1/2+1/4+...+(1/2)^n<=1

a[n+1]+n+1=(a[n]+n)^2
即后一个类似a[K]+K的项是前一个的平方根.
证明中的分母全为这种形式.所以后一个分母也是前一个的平方根.
1+a[1]>=2 先取为2
所以那些项即为1/2+(1/2)^1/2+(1/2)^1/4++(1/2)^1/8+.....++(1/2)^(1/2)^n=(1/2)^(1+1/2+1/4+1/8+....)后面的等比数列 由数列公式可知其值小于2
这样就可求得:不过好像有问题,但是就是这个思路啦.再看清楚题目对照看看...

设:a[n]+n=b[n]
因为a[n+1]+n+1=(a[n]+n)^2
所以b[n+1]=b[n]^2
又a[1]>=1, 所以 b[1]>=2;

(1/(1+a[1]))+(1/(2+a[2]))+(1/(3+a[3]))+...+(1/(n+a[n]))
=1/b[1]+1/b[2]+1/b[3]+...+1/b[n]
=1/b[1]+(1/b[1])^2+(1/b[1])^4+(1/b[1])^8+...+(1/b[1])^(2^(n-1))
<=1/2+(1/2)^2+(1/2)^4+(1/2)^8+(1/2)^16+...+(1/2)^(2^(n-1))
<1/2+(1/2)^2+(1/2)^4+(1/2)^6+(1/2)^8+...+(1/2)^(2^(n-1))
<1
根本就不能等于1

设:a[n]+n=b[n]
因为a[n+1]+n+1=(a[n]+n)^2
所以b[n+1]=b[n]^2
又a[1]>=1, 所以 b[1]>=2;

(1/(1+a[1]))+(1/(2+a[2]))+(1/(3+a[3]))+...+(1/(n+a[n]))
=1/b[1]+1/b[2]+1/b[3]+...+1/b[n]
=1/b[1]+(1/b[1])^2+(1/b[1])^4+(1/b[1])^8+...+(1/b[1])^(2^(n-1))
这些是对的,但下一步好象有问题...
好久没做数学了,没想出后面该怎么做,只是觉得楼上的方法到这都是对的,下面也许就不对了

设b[n]=a[n]+n
根据a[n+1]+n+1=(a[n]+n)^2
得b[n+1]=b[n]^2
根据a[1]>=1
得b[1]>=2

1/(1+a[1])+1/(2+a[2])+1/(3+a[3])+...+1/(n+a[n])
=1/b[1]+1/b[2]+1/b[3]+...+1/b[n]
=1/b[1]+1/b[1]^2+1/b[1]^4+1/b[1]^8+...+1/b[1]^(2^(n-1)
<=1/2+(1/2)^2+(1/2)^4+(1/2)^8+(1/2)^16+...+(1/2)^(2^(n-1))
<1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+(1/2)^5+...+(1/2)^(2^(n-1))
<1,当 n -> 无穷时,=1